4.2. Преобразования описаний графа
Теория.
Построение матрицы инцидентности по списку ребер. Каждая строка списка соответствует строке матрицы с тем же номером. Для н-графа в строке списка указаны номера элементов строки матрицы инцидентности, равные 1. Для орграфа в этой строке первым стоит номер элемента строки матрицы, равного -1, а вторым – номер элемента, равного 1. При совпадении номеров в строке списка ребер в названном элементе строки матрицы инцидентности проставляется, например, 2.
Построение по
матрице смежности списка ребер.
Элементу
матрицы, расположенному в i-й
строке и j-ом
столбце, соответствует
строк списка
ребер (при
=
0 – ни одной строки), в каждой из которых
записаны номера i,
j.
Для н-графа
эти строки соответствуют только элементам
верхнего правого треугольника матрицы
смежности, т.е. элементам
,
а для орграфа нужно рассматривать все
элементы
.
Матрица смежности
н-графа симметрична относительно главной
диагонали
,
и все его ребра определяются верхним
правым треугольником матрицы, расположенным
над диагональю, включая последнюю. Таким
образом, число ребер н-графа по матрице
смежности равно сумме элементов
,
расположенных на диагонали и выше, т.е.
равно:
.
Ребра орграфа определяются всеми элементами матрицы смежности, отсюда их число равно:
Список ребер графа является, по существу, сокращенным представлением матрицы инцидентности (в каждой ее строке только два элемента отличны от 0 или даже один, если ребро – петля).
Пример 5. Построить матрицу инцидентности н-графа по списку ребер вида:
Таблица 8
Ребро |
Вершины |
1 |
A,B |
2 |
A,C |
3 |
B,D |
4 |
A,E |
5 |
C,D |
6 |
C,D |
7 |
D,D |
8 |
C,E |
9 |
D,G |
10 |
E,F |
11 |
F,G |
Решение.
Количество вершин равно 7, количество ребер равно 11. Таким образом, матрица инцидентности будет иметь 7 столбцов и 11 строк.
Таблица 9
G |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Матрица инцидентности (таблица 9) совпадает с таблицей инцидентности (таблица 4) и граф, описанный данной таблицей, может иметь вид рис. 2.
Пример 6. Построить список ребер графа по матрице смежности вида:
Таблица 10
G |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Решение.
Количество вершин графа равно числу строк и столбцов матрицы и равно 5, а количество ребер вычисляется по формуле
=7.
Обозначим ребра буквами латинского алфавита. Тогда список ребер графа будет имеет следующий вид:
Таблица 11
G1 |
|
Ребро |
Вершины |
a |
1,2 |
b |
2,2 |
c |
2,3 |
d |
3,3 |
e |
3,5 |
f |
1,4 |
g |
4,5 |
Данная таблица соответствует списку ребер (таблица 6) графа изображенного на рис. 4.