2.3. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Теория:

Всякая дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Всякая конъюнкция элементарных дизъюнкция называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Любую логическую функцию, не равную тождественно единице, можно представить в ДНФ.

Любую логическую функцию, не равную тождественно нулю, можно представить в КНФ.

Процедура приведения к ДНФ:

1. Все отрицания «спустить» до переменных с помощью формул (6) и (8).

2. Раскрыть скобки с помощью (1), (3), (4).

3. Удалить лишние конъюнкции и повторения в конъюнкциях с помощью (5), (9), (10).

4. Удалить константы с помощью (7).

Задача 4. Привести к ДНФ формулу

Решение.

раскрываем скобки (3)

правило де Моргана (8,б)

правила (9, 7,б, 8,а)

правила (8,а и 8,б, 6)

раскрываем скобки

правило (5,а)

применяем обобщенное склеивание (13,а),

введя обозначения , получим

раскрываем скобки и правило (9, 5,а)

выносим за скобки

правило обобщенного склеивания (13,б)

раскрываем скобки

Теория:

Процедура приведения ДНФ к КНФ:

Пусть ДНФ F имеет вид

, где k₁, k₂, …, k_m – элементарные конъюнкции.

1. Применить к F правило двойного отрицания

и привести к ДНФ , где – элементарные конъюнкции. Тогда:

2. С помощью правила де Моргана освободиться от второго отрицания и преобразовать отрицания элементарных конъюнкций в элементарные дизъюнкции . Тогда:

Задача 5. Привести формулу к КНФ

Решение:

вводим двойное отрицание

правило де Моргана (8,б)

правило де Моргана (8,а)

раскрываем скобки и правило (5, 9)

раскрываем скобки и правило (5, 9)

правило склеивания (12)

правило де Моргана (8,б)

Теория:

Способ перехода от табличного задания логических функций к булевой формуле.

Процедура перехода к СДНФ:

а) для каждого набора значений переменных , на котором функция равна 1, выписываются конъюнкции всех переменных;

б) над теми переменными, которые на этом наборе равны 0, ставятся отрицания;

в) все такие конъюнкции соединяются знаками дизъюнкции.

Полученная таким образом формула называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) логической функции .

Процедура перехода к СКНФ:

а) для каждого набора значений переменных , на котором функция равна 0, выписываются дизъюнкции всех переменных;

б) над теми переменными, которые на этом наборе равны 1, ставятся отрицания;

в) все такие дизъюнкции соединяются знаками конъюнкции.

Полученная таким образом формула называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) логической функции .

Задача 6. Логическую функцию трех переменных представить булевой формулой в виде СДНФ и СКНФ:

Решение:

Построим таблицу истинности последовательно в соответствии с шагами построения формулы

						конъюнкции	дизъюнкции
0	0	0	0	1	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	0	0

Таким образом, СДНФ будет выглядеть следующим образом:

,

а СКНФ имеет вид:

.

Задача 7. Показать справедливость представления следующей бинарной логической операции:

Решение:

Составим таблицу истинности для правой и левой сторон равенства:

правая часть: левая часть:

0	0	1			0	0	1	1
0	1	1			0	1	1	1
1	0	0			1	0	0	0
1	1	1			1	1	0	1

Из таблиц видно, что столбцы результирующих формул правой и левой частей равенства совпадают, также совпадают и СДНФ правой и левой сторон уравнения. Таким образом, справедливость предложенной формулы подтверждается.