Часть II. Определенный интеграл

Определенный интеграл может быть найден при помощи формулы Ньютона-Лейбница

,

где - первообразная функции вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла .

Для вычисления определенного интеграла часто используются следующими методами:

1. Замена переменной. Если функция непрерывна на отрезке и функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке (где , причем определена и непрерывна на отрезке ), то

2. Интегрирование по частям. Если и непрерывно дифференцируемы на отрезке , то

Замечание. Важно помнить, что при использовании формулы замены переменной в определенном интеграле меняются границы интегрирования.

Задание 6

Вычислить определенный интеграл
6.1.			6.6.
6.2.			6.7.
6.3.			6.8.
6.4.			6.9.
6.5.			6.10.

Пример 6. Вычислить определенный интеграл

.

Решение

Применим формулу интегрирования по частям. Положим

Тогда

Интеграл примет вид

.

Для нахождения интеграла воспользуемся рекуррентной формулой из примера 3.

Тогда

Ответ:

Задание 7 Вычислить определенный интеграл
7.1.			7.6.
7.2.			7.7.
7.3.			7.8.
7.4.			7.9.
7.5.			7.10.

Пример 7. Вычислить определенный интеграл

Решение

Воспользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Примем тогда

Отсюда

Ответ:

Задание 8

Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями:

8.1. ,

8.2. ,

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

Пример 8. Найти длину кривой, заданной уравнениями:

Решение

	Кривая, заданная данными уравнениями, называется астроидой (см. рис. 1). Длину дуги вычислим по формуле Астроида симметрична относительно координатных осей, поэтому формула примет вид
Рис. 1

Найдем и :

Тогда

Сделаем замену тогда Изменим границы интегрирования: при , а при

Преобразуем подкоренное выражение

Интеграл примет вид

Ответ: