Задание 3

Вычислить неопределенный интеграл
3.1.			3.6.
3.2.			3.7.
3.3.			3.8.
3.4.			3.9.
3.5.			3.10.

Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби

где и - целые многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя . Если

где - различные действительные корни многочлена ; - натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби на простейшие дроби:

Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части тождества приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной . Можно также определять эти коэффициенты, полагая в тождестве равным подходяще подобранным числам.

Пример 3. Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Применим метод неопределенных коэффициентов. Так как подынтегральная функция есть правильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе), то приступим сразу к нахождению неопределенных коэффициентов. Для этого представим подынтегральную функцию в виде

Приведем выражение в правой части к общему знаменателю

Из равенства дробей следует равенство многочленов

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему для определения неизвестных и :

;

;

;

;

,

решая которую, находим

Теперь мы можем представить подынтегральную функцию в виде суммы правильных рациональных дробей:

Следовательно:

. Первые четыре интеграла сводятся к табличным

Для нахождения последнего интеграла воспользуемся рекуррентной формулой:

если , то

При интеграл - табличный. Тогда

Ответ:

Задание 4

Вычислить неопределенный интеграл
4.1.			4.6.
4.2.			4.7.
4.3.			4.8.
4.4.			4.9.
4.5.			4.10.

Пример 4. Вычислить неопределенные интегралы:

a) б) в)

Решение

а) . Обозначим

Отсюда . Тогда интеграл примет вид

Ответ: ;

б) в данном интеграле сделаем подстановку Отсюда при этом Исходный интеграл примет вид

Разложим подынтегральную функцию в виде . Коэффициенты и найдем, используя метод неопределенных коэффициентов (см. пример 3):

Таким образом:

где

Ответ: где ;

в) перепишем данный интеграл в виде

В общем случае интеграл

(где и - рациональные числа) называется интегралом от дифференциального бинома, который может быть приведен к интегрированию рациональных функций в трех случаях:

1. Пусть - целое. Полагаем где - общий знаменатель дробей и

2. Пусть - целое. Полагаем где - знаменатель дроби

3. Пусть – целое. Применяем подстановку где - знаменатель дроби

В нашем случае Так как - целое, то используем подстановку для II случая: Тогда и

Исходный интеграл примет вид

где

Ответ: где

Задание 5 Вычислить неопределенный интеграл
5.1.			5.6.
5.2.			5.7.
5.3.			5.8.
5.4.			5.9.
5.5.			5.10.

Интегралы вида , где в общем случае – рациональная функция, приводятся к интегрированию рациональных функций с помощью универсальной подстановки , при этом , , , . Эта подстановка ведет иногда к сложным выкладкам. В некоторых случаях подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом:

1. Если то применяется подстановка

2. Если то применяется подстановка

3. Если то применяется подстановка

Пример 5. Найти интеграл .

Решение

Так как

то, полагая , имеем

Ответ: