Часть I. Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной для функции на интервале , если , , или, что то же самое, служит дифференциалом для : . Множество всех первообразных для данной функции на промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается . Если есть первообразная на , то , где - некоторая постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ;

2. ;

3. .

Таблица простейших интегралов

Замечание. В табличном интеграле считаем, что

Правила вычисления неопределенных интегралов.

1. Если , то

2. 

3. 

4. Если и функция непрерывно дифференцируема, то

В частности,

Задание 1

Вычислить неопределенный интеграл
1.1.			1.6.
1.2.			1.7.
1.3.			1.8.
1.4.			1.9.
1.5.			1.10.

Пример 1. Вычислить неопределенные интегралы

а) ; б) .

Решение

а) чтобы выполнить задание, можно под знаком интеграла выражение в скобках возвести в степень 33 и взять интеграл как линейную комбинацию интегралов от степенных функций. Чтобы избежать громоздких выкладок, применим интегрирование путем подведения под дифференциал

Ответ: .

б) найдем интеграл, используя метод подстановки. Положим , отсюда Следовательно:

Ответ:

Замечание. Отметим часто применяемые преобразования дифференциалов:

Задание 2

Вычислить неопределенный интеграл
2.1.			2.6.
2.2.			2.7.
2.3.			2.8.
2.4.			2.9.
2.5.			2.10.

Пример 2. Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Для того чтобы данный интеграл свести к табличному, применим метод интегрирования по частям: если и - дифференцируемые функции, то справедлива формула (формула интегрирования по частям):

Примем , а . Тогда Исходный интеграл примет вид

Ответ:

Замечание 1. Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл может быть «проще» интеграла . Этот метод удобен тогда, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, и , и , и , и и т. п.

Замечание 2. В качестве целесообразно брать такие функции, как: . Если таковых нет в подынтегральном выражении, то за обозначают .