6.3.3. Пример выполнения расчетно-графической работы к4 сложное движение точки при переносном вращательном движении
Дано : Диск радиуса R =72 м вращается вокруг неподвижной оси OZ , перпендикулярной плоскости диска (XOY) (рис.6.4) и проходит через точку O (диск вращается в своей плоскости ).
Уравнение вращательного движения диска дано:
,
, , где
.
Положительное направление отсчета угла показано на рис.6.4 дуговой стрелкой, направленной против часовой стрелки.
По ободу диска движется точка М, траекторная координата этого движения, отсчитываемая от точки «Н» , изменяется согласно уравнению
=
+ AО
sin
k
t,
где
,
AО,
k
– постоянные
величины:
=0
м;
AО
= R
/2
м, k=
.
ОО1
= L
=
м.
Определить: абсолютную скорость
и абсолютное ускорение (относительно
неподвижной системы координат OXYZ)
точки М в момент времени
,
где
.
Р
ешение: Рис.6.4.
За подвижную систему отсчета (ПСО)
принимаем диск, а связанные с ним оси
координат
─ подвижные оси.
За абсолютную (неподвижную) систему отсчета (АСО) принимаем подшипник O, а связанные с ним оси координат XOYZ ─ неподвижные оси.
─ Относительное движение −
перемещение точки М относительно
диска (ПСО) в подвижной системе
координат
по ободу диска, т.е. по окружности
(траекторный или естественный способ
задания движения точки см.разд..1, табл.
1.1); все кинематические характеристики
этого движения обозначаются с индексом
«r» :
,
,
.
─ Переносное движение − движение
неизменяемой среды, неизменно связанной
с подвижной системой отсчета (диском),
относительно неподвижной системы
отсчета (АСО)
XOYZ − ( вращательное
вокруг оси OZ (см.
разд..2.3)); все кинематические характеристики
этого движения обозначаются с индексом
«
»:
,
,
,
,
.
─ Абсолютное движение − перемещение
точки М относительно неподвижной
системы отсчета (АСО)
XOYZ;
все кинематические характеристики
этого движения обозначаются с индексом
«
»:
,
.
Рис.6.5.
1. Кинематические характеристики точки м в относительном движении
Для этого следует воспользоваться формулами раздела “ Кинематика точки” при траекторном (естественном) способе задания ее движения.
Траекторная координата точки М ,заданная уравнением
= + AО sin k t ,
после подстановки – =0 м; AО = R /2 см,, k= , примет вид = R /2· sin (π/6) ·t . (6.3.1)
При t=1с:
=
R
/2·sin
(π/6) 1= R
/2·
1/2 = R
/4
м .
окр =2 R м; ( ) / ( окр) = (R /4) / (2 R) =1/8
=(1/8) ( окр=360°) = 45°;
На рис.6.5 определено положение точки М на диске в момент времени (а не в произвольном положении, показанном на рис.6.4) в подвижной (относительной) системе отсчета при естественном (траекторном) способе задания ее движения, при котором >O .
Cкорость точки
М :
,
где
─ касательная к траектории в данной
точке, направленная всегда в сторону
возрастания траекторной координаты s
;
=
(6.3.2)
=
6 π2 0,866 = 59,2
0,866 = 52,3 м/с; так как
>0, то
.
Ускорение точки М:
,
(6.3.3)
где
─
касательное, а
─ нормальное ускорения точки;
=
;
(6.3.4)
=
- 3 0,5= - 15,5 м/с2
. Так как
<
0, то
.
=
;
=
51,32/ 72 = 36,5 м/с2,
(6.3.5)
где ρ ─ радиус кривизны траектории в данной точке.
Все векторы
,
и
определены для момента времени
и изображены на рис.6.4.2, (без определения
).