Определение тенденции временного ряда

После того как из исходного временного ряда исключены сезонные колебания, определение тенденции временного ряда осуществляется традиционным способом. Выбирается вид зависимости для тенденции (линейная или нелинейная) и далее методом наименьших квадратов определяются коэффициенты регрессионного уравнения.

При этом благодаря тому, что временной ряд представляет собой упорядоченную по независимой переменной последовательность значений с постоянным шагом изменения, появляются дополнительные возможности по решению задачи выбора наиболее подходящего вида тенденции. Для этих целей может быть использовано сглаживание исследуемого ряда без сезонных колебаний скользящими средними с различными интервалами сглаживания. Чем больше интервал сглаживания, тем более гладкой становится сглаженная кривая и тем более очевидным становится наиболее подходящий закон для тенденции. Но при этом сглаженный ряд становится все более коротким (число точек, равное периоду сглаживания пропадает) и тем больше сглаженная кривая отрывается от исходного ряда.

Помимо визуального подбора могут применяться и различные аналитические методы.

Прогнозные значения переменной определяются:

для аддитивной модели ;

для мультипликативной модели .

Прогнозирование случайной составляющей

После того как построена прогнозная модель, включающая тенденцию и сезонные колебания необходимо найти и проанализировать остатки для аддитивной модели и для мультипликативной модели. Если построение прогнозной модели выполнено без ошибок и для исходных данных не характерно влияние предшествующих значений на последующие (явление авторегресии), то остатки должны представлять собой стационарный временной ряд. Стационарный временной ряд – это ряд значения, которого являются случайной величиной, т.е. средняя и дисперсия такого ряда на длительном промежутке времени остаются неизменными. Применительно к остаткам это означает, что их график во времени представляет собой облако точек, расположенных симметрично относительно оси абсцисс, границы этого облака параллельны оси и между точками не наблюдаются какие либо закономерности в их появлении.

Близость остатков к стационарному временному ряду свидетельствует о том, что кардинальное улучшение прогнозной модели уже не возможно, но, тем не менее, несколько повысить точность прогнозирования возможно за счет прогнозирования самих остатков. Наиболее просто прогнозировать остатки можно двумя способами – с помощью скользящей средней и с помощью экспоненциально взвешенной средней.

При прогнозировании с помощью скользящей средней прогнозное значение остатка (отклонения прогнозного значения от его будущего фактического значения ) осуществляется по формуле:

где: остатки на предыдущих шагах от t-n+1 до t.

Таким образом, в этом случае используются не центральные скользящие средние, а концевые скользящие средние, т.е. средние, рассчитываемые по текущей точке и n предыдущих точек. Чем меньшее число точек использовано для расчета скользящей средней, тем сильнее прогноз реагирует на последние значения (на последние ошибки).

При прогнозировании с помощью экспоненциально взвешенной средней прогнозное значение остатка определяется не на основании n последних точек, а по всем предшествующим точкам, но в этом случае вес этих точек убывает по экспоненциальной зависимости. Одна из формул для подсчета экспоненциально взвешенной средней имеет вид:

где: - параметр сглаживания, определяющий скорость с которой уменьшается вес остатков для предыдущих точек по мере их удаления к началу ряда.

Обычно параметр сглаживания выбирается в пределах от 0.05  0.3. Чем большее значение параметра сглаживания, тем сильнее прогноз реагирует на последние изменения. Наиболее часто его выбирают равным 0.2, что примерно равноценно скользящей средней по 9 точкам.

Прогнозирование с помощью скользящей средней и экспоненциально взвешенной средней дают примерно одинаковые результаты, но прогнозирование с помощью экспоненциально взвешенной средней лучше работает в ситуациях когда ряд не до конца стационарен, т.е. нам не удалось учесть в прогнозной модели все тенденции. Как правило прогнозирование с использованием не только тенденции и сезонной составляющей, но и на прогноз остатка позволяет несколько уменьшить дисперсию ошибок прогнозирования. Прогнозные уравнения при этом будут иметь вид:

- для аддитивной модели и

- для мультипликативной модели.