Введение

Данная расчётно-графическая работа посвящена изучению теории линейных электрических цепей. Теория линейных электрических цепей является основной теоретической базой в подготовке инженеров по радиотехнике, радиосвязи, радиовещанию, телевидению и другим специальностям. Данная расчётно-графическая работа предназначена для ознакомления с уравнениями электрического равновесия цепей, методами, основанными на непосредственном применении законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом узловых напряжений.

Также работа способствует приобретению навыков самостоятельного расчета линейных электрических цепей и работы в среде MathCAD.

1. Расчёт электрической цепи переменного тока.

1

L_D1

e₁(t),

r₁

R₁

R₃

L₁

С₁

L₂

С₂

С₃

L_D2

i₁(t)

i₂(t)

i₄(t)

i₅(t)

(1)

(2)

.1. В соответствии с вариантом задания начертим принципиальную схему электрической цепи, также произвольно зададим направления токов ветвей (рис.1). Параметры элементов схемы и вид двухполюсников указаны в таблице 2.

i₃(t)

R₂

e₂(t),

r₂

(0)

Рис.1.

1.2. Рассчитаем сопротивление всех ветвей электрической цепи (рис.1) и запишем в показательной и алгебраической формах.

Комплексное сопротивление ветвей, с учётом внутреннего сопротивления источников электрической энергии:

(1)

,

где Гц.

Запишем сопротивления ветвей в алгебраической форме:

Ом;

Ом;

Ом; (2)

Ом;

Ом,

Учитывая данные таблицы 2, получим:

Ом;

Ом;

Ом ; Ом; (3)

Ом,

Запишем сопротивления ветвей в показательной форме. В общем случае комплексное сопротивление ветви в показательной форме имеет вид:

, (4)

где

(5)

, при ; , при

Используя формулы (20), запишем комплексное сопротивление ветвей в показательной форме:

Ом;

Ом;

Ом; (6)

Ом;

Ом.

Определим активное и реактивное сопротивление каждой ветви:

для первой ветви: Ом; Ом;

для второй ветви: Ом; Ом;

для третей ветви: Ом; Ом;

для четвёртой ветви: Ом; Ом;

для пятой ветви: Ом; Ом;

0. 1.3. Запишем основную систему уравнений электрического равновесия цепи (рис.1) для мгновенных значений токов и напряжений.

Топологические уравнения ветвей:

по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:

; ;

.

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:

;

;

,

где В; В.

Компонентные уравнения ветвей:

; ; ; ;

; ; ; ;

;

; ; ;

B; B.

Компонентные и топологические уравнения ветвей составляют основную систему уравнений электрического равновесия цепи.

0. 1.4. Используя символический метод расчёта электрических цепей, найдём токи и напряжения всех ветвей электрической цепи (рис.2).

L_D1

L_D2

(1)

(2)

С₁

С₂

i₃(t)

i₁(t)

i₂(t)

i₄(t)

i₅(t)

R₃

L₁

L₂

С₃

R₁

R₂

e₁(t),

r₁

e₂(t),

r₂

(0)

Рис.2.

Предположим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, комплексные амплитуды которых равны соответственно: (рис.2).

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для токов . В результате получим следующую систему уравнений:

, (7)

где комплексные сопротивления ветвей исследуемой электрической цепи (см. формулы 3); и комплексные амплитуды источников электрической энергии:

, . (8)

Подставляя (3) и (8) в систему уравнений (7), получим матричное уравнение:

(9)

где

; ;

Решая матричное уравнение (9) в среде MathCad (см. приложение А), получим следующие значения контурных токов:

А;

А; (10)

А.

Найдём комплексные амплитуды токов ветвей электрической цепи (рис.9):

А

А; (11)

А;

А.

Используя (11) определим активную и реактивную составляющие токов ветвей:

для первой ветви: А; А;

для второй ветви: А; А;

для третей ветви: А; А;

для четвёртой ветви: А; А;

для пятой ветви: А; А;

Используя формулы перехода комплексных амплитуд к мгновенным значениям тока и учитывая, что циклическая частота , получим мгновенные значения токов ветвей:

А;

А;

А; (12)

А;

А.

Применяя обобщённый закон Ома для комплексных величин, найдём комплексные амплитуды напряжений ветвей:

;

;

; (13)

;

.

Подставляя (5), (8) и (11) в (13), получим:

;

;

; (14)

;

.

Вычисляя значения выражений (14), получим комплексные амплитуды напряжений ветвей:

В;

В;

В; (15)

В;

В.

Определим активную и реактивную составляющие напряжений ветвей:

для первой ветви: В; В;

для второй ветви: В; В;

для третей ветви: В; В;

для четвёртой ветви: В; В;

для пятой ветви: В; В;

Используя формулы перехода комплексных амплитуд к мгновенным значениям напряжения и учитывая, что циклическая частота , получим мгновенные значения напряжений ветвей:

В;

В;

В; (16)

В;

В.

1.5.Для каждой ветви электрической цепи построим полную векторную диаграмму токов и напряжений. Для этого воспользуемся данными, полученными в пункте 1.4. На рис.3 представлены диаграммы токов и напряжений ветвей электрической цепи (рис.2). Для улучшения наглядности модули векторов , , , , , увеличены в 1000 раз.

Im

Re

Рис.3.

1.6 Для ветвей электрической цепи с источниками ЭДС и найдём комплексную, полную, активную и реактивную мощности.

Найдём напряжения и токи в ветвях с источниками ЭДС и в показательной форме. Так как:

В;

В;

А;

А;

то, пользуясь формулами (5), получим:

В; ;

В;

А; ;

А;

поэтому

В;

В;

В

В

Комплексная мощность равна:

, (17)

где - комплексно-сопряжённое значение тока . Так как и , то комплексную мощность можно записать в следующем виде:

(18)

Модуль комплексной мощности есть полная мощность:

(19)

Мощность, выделяющаяся на активных элементах:

(20)

Мощность реактивных элементов:

(21)

Пользуясь формулами (17)-(21), найдём комплексную, полную, активную и реактивную мощности в ветвях с источниками ЭДС и . В результате получим:

Для первой ветви:

комплексная мощность:

полная мощность:

;

активная мощность:

Вт;

реактивная мощность.

Вар;

Для второй ветви:

комплексная мощность:

полная мощность:

;

активная мощность:

Вт;

реактивная мощность.

Вар;

1.7. Построим графики мгновенных значений токов, напряжений и мощностей в ветвях с источниками ЭДС и . Мгновенные значения токов и напряжений в ветвях исследуемой электрической цепи были найдены в пункте 1.4 (см. (12) и (16)).

Мгновенное значение тока ветви с источником ЭДС : А; с источником : А. Используя среду MathCad (см.Приложение Б), построим графики мгновенных значений токов и напряжений исследуемых ветвей. На рис.4 представлены графики мгновенных значений токов и .

Рис.4.

Мгновенное значение напряжения ветви с источником ЭДС : В; с источником : В. На рис.4 представлены графики мгновенных значений напряжений и .

Рис.5.

Мгновенные значения мощности получим перемножением мгновенных значений токов и напряжений соответствующих ветвей (см. Приложение Б):

На рис.6 представлены графики мгновенных значений мощностей исследуемых ветвей.

Рис.6.