Непрерывные случайные величины.
Случайная величина называется непрерывной, если:
все ее возможные значения непрерывно заполняют интервал
.ее функция распределения
непрерывна
на
.
Вероятность
попадания непрерывной случайной величины
на
участок от
до
равна:
Плотность
распределения непрерывной случайной
величины
есть
производная от функции распределения:
.
Свойства плотности распределения:
.
Вероятность
попадания непрерывной случайной величины
на интервал
равна:
.
Функция распределения непрерывной случайной величины выражается через ее плотность распределения:
Числовые характеристики:
.
Виды непрерывных распределений
Равномерное распределение. Случайная величина имеет равномерное распределение на интервале
,
если ее плотность распределения
на
этом интервале постоянна:
,
,
.
Вероятность попадания случайной величины , имеющей равномерное
распределение
с параметрами
на
участок от
до
,
равна:
.
Нормальное распределение (с параметрами
).
Случайная величина
имеет
нормальное распределение ,если ее
плотность распределения равна:
,
где
.
Вероятность попадания случайной величины , имеющей нормальное
распределение
с параметрами
на
участок от
до
,
равна:
,
где
-
функция Лапласа (см. приложение 1).
Показательное распределение. Случайная величина имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой:
,
Вероятность
попадания в интервал
непрерывной
случайной величины
,
которая распределена по показательному
закону, определяется по формуле:
.
Примеры решения задач
Задача.
Компания А покупает у компании В детали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точно установленное значение размера. Деталь, размер которой отличается от установленного размера более чем на ± 0,25 мм считается дефектной. Компания А требует от компании В , чтобы доля брака не превышала 1 % деталей. Если компания В выполняет требование компании А, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина.
Решение.
Компания А требует от компании В, чтобы выполнялось условие:
,
где
-
размер
деталей,
-
установленный
размер.
События
и
противоположные,
поэтому:
Следовательно:
.
Так как - нормально распределенная случайная величина, то
,
где
-
среднеквадратическое (стандартное)
отклонение размеров деталей.
По
таблице значений функции
(приложение
1) имеем:
Итак, допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей равно 0,097.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 5.1
Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере 800 т угля.
Задача 5.2
Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65 % фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.
Задача 5.3
Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была более 60 у.е.
Задача 5.4
Средний
срок службы коробки передач до капитального
ремонта у автомобиля определенной марки
составляет 56 мес. со стандартным
отклонением
=
16 мес. Привлекая покупателей, производитель
хочет дать гарантию на этот узел, обещая
сделать бесплатно любое число ремонтов
коробки передач нового автомобиля в
случае ее поломки до определенного
срока. Пусть срок службы коробки передач
подчиняется нормальному закону. На
сколько месяцев в таком случае
производитель должен дать гарантию для
этой недели, чтобы число бесплатных
ремонтов не превышало 2,275 % проданных
автомобилей?
Задача 5.5
При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций напитка в стандартную емкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение = 0,4 унций. Пусть емкости объемом 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 5 % емкостей оказались переполненными?
Задача 5.6
Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12 439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Задача 5.7
Менеджер ресторана по опыту знает, что 70 % людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 15 посетителей придут на заказанные места?
Задача 5.8
Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2 % и стандартным отклонением 0,6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в 99 % продаваемого корма доля протеина составляла не меньше х1 %, но не более х2 %. Найдите х1 и х2 .
Задача 5.9
Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25 % - имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.
Задача 5.10
На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туши – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением. Известно, что 15,87 % туш имеют вес менее 800 кг и 37,07 % туш – более 1000 кг. Определите средний ожидаемый вес и среднее квадратическое отклонение веса туш.
Задача 5.11
Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию был ниже 60 за акцию.
Задача 5.12
Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была выше 40 за акцию.
Задача 5.13
Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была между 42 и 54 у.е.
Задача 5.14.
Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартным и считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200.5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм . На сколько повысился процент бракованных деталей?
Задача 5.15.
Диаметр деталей, изготовленных заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина диаметра а=2,5 см, среднее квадратическое отклонение равно 0,01. В каких границах можно практически гарантировать длину диаметра этой детали, если за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973?
Задача 5.16
Менеджер гостиницы по опыту знает, что 60 % клиентов, забронировавших номер, действительно займут его в течении суток. На текущие сутки менеджер решил принять бронь на 25 номеров, хотя в гостинице предполагалось, что освободиться лишь 20 номеров. Чему равна вероятность того, что более 20 клиентов затребуют забронированные номера?
Задача 5.17
Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 т угля
Задача 5.19
Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 985 т и стандартным отклонением 70 т. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 865 т.
Задача 5.20
Предположим, что в течение года некоторая строительная компания установила некоторую цену на 1 кв метр квартиры-новостройки. Стоимость одного квадратного метра есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 25 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за один квадратный метр квартиры-новостройки была выше 30 у.е. за метр.