Методичка по Технической механике

ЗАДАНИЕ 3.

РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

Стальная балка постоянного поперечного сечения нагружена двумя силами Р1 , Р2 и внешним изгибающим моментом М (схема а на рис. 11 и 12) или силой Р1 , моментом М и распределенной нагрузкой интенсивностью q (схема б на рис. 11 и 12).

Требуется:

–определить реакции опор, выполнив проверку полученных значений;

–построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, записав их аналитическое выражение для каждого из участков;

–определить положение опасного сечения балки и внутренние силовые факторы, действующие в нем;

–из расчета на прочность по нормальным напряжениям при изгибе подобрать для каждой схемы нагружения размеры поперечного сечения для трех вариантов изготовления балки (для схемы а поперечное сечение имеет вид круга диаметром d, прямоугольника с определенным соотношением высоты h и ширины b, двутавра, а для схемы б – кольца с заданным отношением внутреннего d и наружного D диаметров, квадрата и швеллера);

–сравнить массы полученных для каждой схемы балок и выбрать наиболее экономичное сечение.

Геометрические характеристики сечений приведены в приложении. Номер схемы соответствует последней цифре варианта, а номер строки

втаблице 3 – первой цифре варианта.

1

Рис. 11. Схемы нагружения балок

2

Рис. 12. Схемы нагружения балок

3

Пример выполнения задания. Дано: схема балки (рис. 13);

М1 30 кН м; М2 10 кН м; Р 20 кН; q 20 кН/м.

На изгиб работают балки, валы, оси и другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.

При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.

1. Определение реакций опор балки от заданной нагрузки.

Покажем внешние силы, приложенные к ферме: пары сил с моментами М1 и М 2 ; силу Р; распределенную нагрузку интенсивностью q и реакции

опор А и В (рис. 13).

Реакция в опоре А (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие – ZА и YА; в точке В реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка – RB.

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

Yi 0; YA P q 2 RB 0;

M Ai 0; P 2 q 2 3 M 2 M1 RB 6 0.

Из этих уравнений ZА = 0 кН; YА = 30 кН; RB = 30 кН.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов

сил относительно точки В:

M Bi YA 6 M1 q 2 3 P 4 M 230 6 30 20 2 3 20 4 10 0,

то есть реакции опор найдены верно.

Расчетная схема балки приведена на рис. 14.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M x .

Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.

Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.

4

5

IIучасток ( 0 z2 2 ):

Yi 0; YA P q z2 Q2 0;

Так как поперечная сила Q2 на участке меняет знак, то эпюра изгибающего момента в этом сечении имеет минимум или максимум. При

Рис. 17. Участок III

6

Отсюда

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 14).

3. Определение положения опасного сечения.

Опасное сечение расположено в том месте, где модуль изгибающего момента имеет максимальное значение. В рассмотренном примере оно

находим расчетный осевой момент сопротивления сечения балки с учетом того, что [σ] = 190 МПа:

1. Определение размеров наиболее распространенных сечений балок.

5.1. Круг:

5.2. Квадрат:

Wx b3 315,8 см3; 6

b 36Wx 36 315,8 12,4 см; F2 b2 12,42 153,8 см2.

7

5.3. Прямоугольник с соотношением сторон h/b = 2:

5.4. Кольцо с соотношением α = d/D = 0,7:

5.5. Двутавр: по таблице сортамента прокатной стали (ГОСТ 8239 – 89) подбираем двутавровое сечение с моментом сопротивления

2. Сравнение масс полученных балок.

Для выбора наиболее экономичного варианта изготовления сравним массы балок различного поперечного сечения. При прочих равных условиях массы балок относятся так же, как и площади их поперечных сечений:

Таким образом, наиболее выгодной является балка двутаврового сечения, масса которой, а следовательно, и стоимость, в 4,39 раза меньше, чем у балки круглого сечения.

8

ЗАДАНИЕ 4.

РАСЧЕТ КОЛОННЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Для заданной расчетной схемы колонны (рис. 18), изготовленной из стали Ст. 3 ( Е 2 105 МПа; σт 240МПа; σпц 200МПа ) и имеющей

составное сечение (рис.19), определить допускаемую нагрузку при заданном коэффициенте запаса устойчивости nу . Профили составного сечения

Ясинского:

σкр а bλ ,

где коэффициенты а =310 МПа и b =1,14 МПа.

При λ λ0 критическое напряжение равно пределу текучести σт .

Расчетная схема колонны (рис. 18) и строка в таблице 4 с исходными данными соответствуют первой цифре варианта, а вид составного сечения (рис. 19) – последней цифре варианта.

9

Рис. 18. Расчетная схема колонны

Рис. 19. Вид составного сечения

10