75

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Высшая математика»

Т.Н. Голубкова

Методические указания и задания для самостоятельной работы

по теории вероятностей и математической статистике

для студентов экономических специальностей ИжГТУ

Ижевск, 2010 г.

Оглавление

Предисловие………………………………………………………………………………………3

1. Основные теоремы теории вероятностей…………………………………………… 4

2. Формула полной вероятности. Формула Байеса…………………………………12.

3. Повторные испытания……………………………………………………………………………20

4. Дискретные случайные величины…………………………………………………………27

5. Непрерывные случайные величины………………………………………………………37

6. Анализ вариационных рядов…………………………………………………………………44

7. Статистические оценки параметров распределения (интервальные)…51

8. Статистическая проверка статистических гипотез…………………………………60

Приложения…………………………………………………………………………………………………68

Предисловие.

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов специальности «Маркетинг в экономике», изучающих курс теории вероятностей и математической статистики.

В пособии представлены задачи для самостоятельного решения, которые служат для усвоения ключевых разделов теории вероятностей и математической статистики. В связи с большой ролью вероятностно-статистических методов в экономике, задачи составлены таким образом, чтобы дать студенту некоторые практические навыки по использованию статистических методов обработки и анализа эмпирических данных. В задачах рассматриваются ситуации, возникающие в практике управления экономическими и финансовыми системами. Экономические приложения методов теории вероятностей и математической статистики выходят на первый план, акцент делается не только на усвоение алгоритма решения задач, но и на анализ и экономическую интерпретацию полученных результатов.

В методических указаниях рассмотрены некоторые основные сведения из теории, приведены примеры решения типовых задач, а также ряд формул, необходимых для понимания изучаемого материала и решения задач.

Перед тем как приступить к разбору решений типовых задач, изложенных в данной методической разработке, студентам рекомендуется изучить теоретический материал в соответствии с программой.

1. Основные теоремы теории вероятностей.

Теорема 1.

Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме их вероятностей:

Следствие 1. Если - попарно несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий , образующих полную группу, равна 1:

Следствие 3. События и несовместны и образуют полную группу событий, поэтому

Теорема 2.

Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Теорема 3.

Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению их вероятностей:

Следствие. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

Условной вероятностью события , при условии, что событие уже произошло, называется число , определяемое по формуле: .

Аналогично находится условная вероятность события , при условии, что событие уже произошло.

Теорема 4.

Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности наступления события на условную вероятность события при условии, что событие уже произошло:

Следствие. Если события и независимы, то из теоремы 4 следует теорема 3.

Теорема 5. Вероятность произведения зависимых событий равна произведению последовательно условных вероятностей:

Теорема 6.

Вероятность наступления хотя бы одного из зависимых событий равна разности между единицей и вероятностью произведения отрицаний событий :

Следствие 1. Вероятность наступления хотя бы одного из событий - независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Следствие 2. Если события имеют одинаковую вероятность появления, т.е. ,то вероятность появления хотя бы одного из них равна: