Статистические оценки параметров распределения (интервальные).
7.1
Интервальной оценкой с
надежностью
математического
ожидания
нормально
распределенного признака
по
выборочной средней
при известном
среднем квадратическом отклонении
генеральной
совокупности служит доверительный
интервал:
где
-объем
выборки;
-выборочная
средняя;
-значение
аргумента функции Лапласа
,
при котором
;
-точность
оценки.
7.2
Интервальной
оценкой с надежностью
математического
ожидания
нормально
распределенного признака
по
выборочной средней
при неизвестном
среднем квадратическом отклонении
генеральной
совокупности и объеме выборки
служит
доверительный интервал:
где
- «исправленное» выборочное среднее
квадратическое отклонение;
находят
по таблице приложения 2 по заданным
значениям
и
.
7.3
Интервальной
оценкой с надежностью
среднего
квадратического отклонения
нормально
распределенного признака
по
«исправленному» выборочному среднему
квадратическому отклонению
служит
доверительный интервал:
,
при
,
при
где находят по таблице приложения 3 по заданным значениям и .
7.4
Интервальной
оценкой с надежностью
неизвестной
вероятности
биноминального распределения
по относительной частоте
служит
доверительный интервал (с приближенными
концами
и
)
:
где
,
.
где
-общее
число испытаний;
-число
появлений события;
-относительная
частота, равная отношению
;
-
значение аргумента функции Лапласа
(приложение 2), при котором
(
-
заданная надежность).
Замечание:
При больших значениях
можно
принять в качестве приближенных границ
доверительного интервала :
,
.
Формулы предельной ошибки и необходимого объема выборки для различных случаев.
Выборка |
Предельная ошибка ( |
Необходимая численность ( ) |
||
|
средней
( |
доли
( |
средней ( ) |
доли ( ) |
Случайная повторная |
|
|
|
|
Случайная бесповторная |
|
|
|
|
Типическая повторная |
|
|
|
|
Типическая бесповторная |
|
|
|
|
)
)
)
Обозначения в таблице:
-квантиль распределения, соответствующий уровню значимости .
-выборочная
дисперсия
при
;
при
.
-дисперсия
относительной частоты в схеме повторных
независимых испытаний.
-объем
генеральной совокупности,
-
объем выборки.
-средняя
арифметическая групповых дисперсий
(внутригрупповая дисперсия).
-средняя
арифметическая дисперсий групповых
долей.- предельная ошибка выборки.
Примеры решения задач
Задача 1.
В
ходе обследования банковских счетов
была проведена случайная выборка записей
по вкладам. Из выборки
100
оказалось, что средний размер вклада
составляет 1 837 д.е.; среднее квадратическое
отклонение размера вклада равно 280 д.е.
Найти с надежностью =0,95
доверительный интервал для среднего
размера вкладов по всем счетам, если
известно, что размер вкладов распределен
по нормальному закону.
Решение:
По
условию
;
;
;
.
По таблице значений функции
находим
из
условия:
.
По формуле:
находим доверительный интервал:
Это означает, что с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что средний размер вклада генеральной совокупности находится в пределах от 1782,12 д.е. до 1891,88 д.е. Интервал ±54,88 составляет примерно ±3% среднего размера вклада в выборке (1 837д.е.). Это не очень большое отклонение, поэтому среднее значение выборки можно считать надежной оценкой среднего значения генеральной совокупности. Однако существует вероятность, равная 0,05 того, что можно получить значение вне доверительного интервала.
Задача 2.
На фирме проведен выборочный опрос 10% работников по вопросам изменения условий труда. Из 90 работников основного производства за изменение условий труда высказалось 65 человек, из 30 человек вспомогательного производства -20 человек, а из 25 работников, занятых управлением фирмой -21 человек. С доверительной вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться доля работников фирмы, поддерживающих изменения условий труда.
Решение:
Пусть
{работник,
участвующий в опросе, поддерживает
изменение условий труда}.
По условию задачи:
,
,
.
Найдем
относительную частоту появления события
:
.
Найдем
из
соотношения
.
По таблице функции Лапласа (см. приложение
1) находим
.
Так
как
,
то воспользуемся формулами:
, э
Подставив
,
,
получим
соответственно
,
.
Таким образом, с доверительной вероятностью 0,95 можно утверждать, что доля работников поддерживающих изменения условий труда находиться в границах:
.