Теорема поста о полноте

Теорема Поста позволяет проверку полноты системы булевых функций свести к достаточно простому заполнению таблицы.

ТЕОРЕМА 18. (Пост) Система булевых функций является полной тогда и только тогда, когда существуют функции из системы такие, что - не сохраняет 0, - не сохраняет 1, - несамодвойственная, - немонотонная, - нелинейная.

Доказательство. Для функции имеем равенство . Возможны два случая 1) , 2) . Рассмотрим каждый из них последовательно.

1) Введем функцию . В силу определения функции имеем . А тогда это постоянная функция . Рассмотрим функцию . Так как она не сохраняет 1, то . Здесь тоже возможны два случая: 1.1) , 1.2) .

1.1) Определим функцию . В силу определения имеем и . И тогда мы имеем две постоянные и . С помощью этих постоянных из немонотонной функции получается логическая операция (теорема 17). Используя эти константы и операцию отрицания из нелинейной функции получаются дизъюнкция и конъюнкция (теорема 12). Это означает сводимость . Отсюда в силу полноты системы получаем полноту и системы .

1.2) Определенная выше функция равна отрицанию, т.к. и . С помощью отрицания из константы 1 получаем 0. Далее, как и в случае 1.1), получается полнота системы .

2) В этом случае функция определяет операцию отрицания, т.к. , . С помощью логической операции отрицания из несомодвойственной функции получаем константы 0 и 1(теорема 14). Далее рассуждения как в пункте 1.1) доказывают полноту системы .

АЛГОРИТМ ПРОВЕРКИ НА ПОЛНОТУ

СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Для рассматриваемой системы составляем таблицу.

…	…	…	…	…	…

В каждой клетке вписываем либо +, либо -. Ставим +, если функция, обозначающая строку, принадлежит классу функций, обозначающему столбец. В противном случае ставится -. В каждом столбце должен быть хоть один -. Иначе все функции системы лежат в соответствующем классе и потому их суперпозиции не могут вывести за пределы этого класса, а значит не дают весь класс булевых функций.

В заключение укажем функции, не принадлежащие рассматриваемым классам. , , , , .

Отметим, что система функций может быть полной и состоять только из одной функции. Например таковой системой является система .