Класс самодвойственных функций

Определение 9. Функция называется двойственной к булевой функции , если для любых значений переменных имеет место равенство: .

Определение 10. Булева функция называется самодвойственной, если она сама себе двойственна.

Класс самодвойственных формул обозначим через

Самодвойственными функциями, например, являются .

ТЕОРЕМА 13. Класс самодвойственных функций является замкнутым.

Доказательство. Пусть . Определим функцию, являющуюся суперпозицией этих функций.

Рассмотрим двойственную к ней функцию.

Полученное равенство исходной функции и ей двойственной и доказывает самодвойственность суперпозиции самодвойственных функций.

ТЕОРЕМА 14. (Свойство несамодвойственной функции) Если функция несамодвойственная, то заменой переменных в этой функции на или из неё можно получить константную функцию.

Доказательство. Пусть функция не самодвойственная. Тогда существует набор из нулей и единиц такой, что . Для каждого введем функцию . С помощью этих функций определим искомую функцию . Действительно, имеем

.

Класс монотонных функций

Введем бинарное отношение на последовательностях из 0 и 1 длины .

Определение 11. тогда и только тогда, когда .

ТЕОРЕМА 15. Бинарное отношение удовлетворяет свойствам рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, т.е. является частичным порядком.

Указанные свойства легко понять из аналогичных свойств отношения для чисел.

Определение 12.Булева функция называется монотонной, если имеет место импликация

.

Класс монотонных функций обозначим через

.

ТЕОРЕМА 16. Класс М монотонных функций является замкнутым.

Доказательство. Пусть функции

.

Рассмотрим две последовательности . В силу монотонности функций выполняются неравенства для всех . А тогда имеем

, что при монотонности функции гарантирует выполнение неравенства

.

Тем самым установлена монотонность суперпозиции монотонных функций, что и доказывает теорему.

ТЕОРЕМА 17. (Свойство немонотонной функции) Если немонотонная функция, то подстановкой 0, 1 и x вместо переменных из неё можно получить логическую операцию .

Доказательство. Две последовательности из 0 и 1 будем считать соседними, если существует единственное такое , что и при всех остальных выполняются равенства .

Пусть функция немонотонна. Тогда существуют такие последовательности из 0 и 1, что при выполнении условия значения функции на этих последовательностях связаны неравенством .

Если последовательности не являются соседними, то между ними вставим ряд последовательностей так, чтобы рядом стоящие последовательности были соседними.

В силу транзитивности бинарного отношения и выполнения неравенства найдется такой номер s, что соседние последовательности связаны отношением , а значения функции удовлетворяют неравенству . Если же исходные последовательности являются соседними, то они и берутся в качестве .

В силу определения соседних последовательностей существует такой номер i , что , а для других координат выполняются равенства . Следовательно имеем следующие соседние последовательности

.

По этим последовательностям определим функцию

.

А тогда получаем , что возможно только при . Теорема доказана.