vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

4

I. Основные понятия и определения.

К кинематическим характеристикам движения точки относятся: закон движения, заданный тем или иным способом, траектория точки, скорость и ускорение точки, радиус кривизны траектории в заданной точке, годограф скорости и др.

Траекторией точки называется линия, описываемая движущейся точкой в пространстве. Траектория может быть плоской или пространственной кривой (в частном случае прямой линией), замкнутой или уходящей в бесконечность.

Движение точки в пространстве определяется заданием закона движения. Закон (уравнения) движения точки устанавливает местоположение точки в пространстве в зависимости от времени. Другими словами, зная закон движения, можно определить положение точки в пространстве в любой момент времени.

При координатном способе задания движения перемещение точки изучается по отношению к декартовой системе координат OXYZ, условно принимаемой за неподвижную. Собственно закон движения некоторой точки М задается тремя функциями (для пространственной траектории):

или двух функций (для плоской траектории):

Выражение (1) и (1*) представляют собой одновременно и параметрические уравнения траектории точки. Для получения уравнений траектории в явном виде из выражений (1) и (1*) необходимо исключить время (t).

вектора скорости. Таким образом, скорость точки – производная от перемещения по времени, а ускорение – производная от скорости по времени или вторая производная от перемещения от времени. Если закон движения точки определен уравнениями в декартовых координатах, то векторы скорости и ускорения определяются по их проекциям на оси декартовых координат. Так при плоской траектории движения:

Модули и направляющие косинусы векторов скорости и ускорения в этом случае определяются выражениями:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

5

(5)

Если проекция скорости на ось положительна, то точка движется в направлении увеличивающихся значений данной координаты.

Для получения уравнения годографа скорости в декартовых координатах исключим из уравнений (2) параметр времени (t). График годографа скорости строится на осях Vx и Vy (x;y) и является геометрическим местом точек, характеризующих возможные значения скорости в зависимости от времени (в сущности, это – линия, описываемая концом вектора скорости при неподвижном его начале).

использовании естественного способа задания движения точки складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих векторов:

касательной к траектории движения;

кривизны траектории на данном участке.

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине (модулю) и равно производной от численной величины скорости по времени:

Это ускорение равно нулю, если V=const. Кроме того, оно обращается в нуль, если скорость достигает экстремальных значений.

где р – радиус кривизны траектории в данной точке.

Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории и в точках, где V=0.

направлению может определяться по формулам (5), а также как сумма векторов W и

Wn :

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

6

II. Содержание расчетно-графической работы

Точка М движется в плоскости XОY. Закон движения точки задан координатным способом, уравнениями:

x = f1(t); y = f2(t),

где x и y выражены в сантиметрах, время t – в секундах. Требуется:

1.Найти уравнение траектории движения точки в декартовых координатах и построить эту траекторию графически.

2.Определить скорость точки по величине и по направлению в функции времени.

3.Найти уравнение годографа скорости и построить его график.

4.Определить полное ускорение точки по величине и направлению в функции от времени.

5.Найти тангенциальное и нормальное ускорения точки в функции от времени.

6.Определить радиус кривизны траектории как функцию от времени (для любой точки траектории).

7.Определить начальное положение точки и направление ее движения в зависимости от времени.

8.Для заданных значений времени t1 и t2 найти численные значения всех кинематических характеристик, определенных ранее в общем виде как функции от времени (t). Все расчетные значения свести в таблицу следующего вида:

Vx Vy Wx Wy cosα cosβ cosα1 cosβ1 Wτ Wn W p 0

t1

t2

9. Построить центры кривизны траектории для значений t1 и t2 и проверить полученные значения радиусов кривизны по формулам:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

7

III. Пример выполнения работы.

Даны уравнения движения точки в плоскости XОY:

1.Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t1 используя тригонометрическую формулу двойного угла cos2α=1-2sin2α. Тогда:

В результате получим:

(параболы):

Х=(у+1)2+1.

Графическое изображение этой параболы-траектории показано на рис.1. 2. Скорость точки определяется в соответствии с формулами (2;4)

(13)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

9

3. Используя выражения (12), найдем уравнение годографа скорости.

тогда:

Окончательное уравнение годографа скорости примет вид:

График годографа скорости представляет фигуру Лиссажу с двумя петлями, расположенными симметрично по отношению к началу осей координат Vх и Vу (рис.2).