7. Часова залежність дисперсного критерію ризику Для цієї мети розглянемо трансформацію закону розподілу випадкової величини рівня ризику f(X,t) в часі.

(1)

Хай координата часу t одержала малий приріст ∆t. За цей час закон F(x,t) змінюється до F(x,t +∆t):

(2)

де Р₁- ймовірність невиходу випадкової величини Х за межі [0,x] до моменту t +∆t за умови знаходження усередині цього відрізка у момент t, який слідує з ймовірністю F(x,t):

(3)

де Р₂ - ймовірність знаходження випадкової величини усередині відрізка [x-∆х,х] у момент часу t ;

Р₃ - ймовірність виходу випадкової величини за межі [0,x] за умови виконання події з вірогідністю Р₂.

З обліком (1) запишемо:

(4)

де ∆Х = ∆t∙V(t) – швидкість можливої зміни випадкової величини.

Підставляючи (3) і (4) у формулу (2), одержимо диференціальне рівняння в часткових похідних після граничного (предельного) переходу при ∆t → 0:

(5)

при початковій умові (1),

де V(t) – очікувана швидкість зміни випадкової величини.

Вираз (5) описує характер зміни закону розподілу F(x,t) в часі за рахунок деформації цього закону (розпливання).

Необхідно вирішити диференціальне рівняння (5). Відповідні диференціальні рівняння характеристик мають вигляд [8]:

Поверхня, яку описують ці характеристики, у разі гладкої функції F(x,t) (ця умова вважається здійснимою для розподілу ймовірності) визначає рішення задачі Коші для рівняння (5).

Перші інтеграли звичних диференціальних рівнянь відповідно рівні:

Загальне рішення рівняння (5) має вигляд:

(6)

Рішення виражається через довільну функцію U. Визначимо цю функцію з обліком (1). Підставимо в (6)

і одержимо звідки:

(7)

Враховуючи (7), одержимо рішення рівняння (5) з початковою умовою (1) в неявному вигляді:

(8)

Значення і вид функції F є виразом закону розподілу функції ризику і використовується для отримання рішення рівняння (8). Рішення рівняння (8) не вдається одержати для довільно-заданого закону розподілу. У явному вигляді рішення (8) можна одержати для рівномірного закону розподілу, який у момент t=0 має вигляд:

Унаслідок симетричності розподілу Р3 = 0,5. Підставляючи ці значення в (8), одержимо:

при V(t)= V:

Для рівномірного закону розподілу :

при t=0,

де В – ширина ділянки розподілу випадкової величини. Оскільки ця величина при t >0 приймає значення:

то і дисперсія відповідно зростає до величини:

Для інших законів розподілу ризику σ також зросте і це зростання можна визначити чисельними методами.

При цьому можна використовувати метод інформаційної подібності. Рівномірний, квадратичний і нормальний закони розподілу принципових відмінностей по своєму характеру не мають, тому можна припустити: якщо для рівномірного розподілу дисперсія зросла в αθ раз, то приблизно в стільки ж разів вона зросте і для квадратичного і нормального законів. При цьому:

Лекція 3