Багатоцільові рішення і математичне програмування в умовах ризику

Питання лекції:

1. Невизначеність цілей і компроміси Парето.

2. Інвестиційний ризик.

3. Класи задач Прийняття багатоцільових рішень в умовах невизначеності.

Література: [6-8].

1. Невизначеність цілей і компроміси Парето

Рішення задач максимізації найзручніше проводити по єдиному критерію, тому що такі методи добре розроблені і не зустрічають особливих труднощів обчислення. На жаль, такі задачі зустрічаються не завжди, і на практиці доводиться вирішувати багатокритеріальні задачі. До таких задач відносяться ті, які розглядаються в умовах ризику. При цьому необхідно вирішувати, щонайменше, двохкритеріальні задачі: один критерій критичний до ефективності досліджуваної системи, другий критерій оцінює характеристики ризику.

При оцінці ефективності бажано максимізувати очікуваний валовий об'єм продукції, що випускається, одержати максимальний інтегрований очікуваний дохід, що дисконтується, мінімізувати очікувану собівартість продукції.

У багатокритеріальних задачах природно намагатися знайти спосіб приведення їх до задач з одним критерієм, оскільки для однокритеріальних задач існує добре розроблені методи рішення будь-якої строго сформульованої математичної задачі.

У цьому значенні представляє інтерес метод оптимізації, запропонований італійським економістом Вільфредо Парето [6-8]. Він запропонував рішення наступної задачі.

Є критеріїв Знайдемо деяке рішення задачі х*, і розглядатимемо інше рішення х, причому для всіх критеріїв мають місце нерівності:

(1)

причому хоча б одна нерівність – строга.

Всі вектори, які задовольняють умові (1), слід виключити з розгляду і аналізувати тільки ті вектора х, які не задовольняють умові (1). Множину таких значень х* називається множиною Парето.

Кожній точці співвідношення:

(2)

ставлять у відповідність деяку точку в площині критеріїв f₁, f₂.

Співвідношення (2) визначає відображення множини Х на f.

Малюнок 8.1. Множина Парето.

Множина Парето на рис.8.1. представлено дугою АСВ і відображає тільки ті точки, над якими не домінують інші точки в просторі f₁, f₂.

Опишемо схему побудови множини Парето.

Співвідношення (2) (відображення множини Х на f) зображає множину досяжності. При цьому:

1.Фіксують бажані значення критеріїв f₁, f₂. : f₁=С₁ ; f₂=С₂.

2.Розв'язується дві оптимізаційні задачі:

а) f₁(х) → max за умови f₂(х)=С₂;

б) f₂ (х) → max за умови f₁(х)=С₁.

Рішенням цих задач є крапки а і в.Через них проводимо пряму 1 – це найпростіша апроксимація множини Парето.

Рис 8.2. Множина Парето.

Для уточнення цієї апроксимації розв'язуються наступні дві задачі в) і г) і визначаються крапки з і d, які також належать множині Парето:

в) f₁(х) → max за умови f₂(х)=С₄;

г) f₂(х) → max за умови f₁(х)=С₃.

2.Інвестиційний ризик

Інвестиційний ризик полягає в небезпеці втрати капіталу, що вкладається, і/або очікуваного доходу на капітал. Інвестори можуть мати справу з двома різновидами інвестицій:

- реальні інвестиції (безпосереднє вкладення капіталу у виробничі або комерційні проекти);

- фінансові інвестиції (вкладення капіталу в придбання цінних паперів).

Відповідно розрізняють проектний і портфельний інвестиційні ризики.

Проектний ризик. В ході аналізу проектного ризику звичайно розв'язуються наступні задачі:

• обґрунтування Прийняття або відхилення конкретного проекту з урахуванням відношення до ризику;

• оптимальний розподіл обмеженого інвестиційного капіталу між декількома проектами.

Рішення про Прийняття або відхилення конкретного інвестиційного проекту ухвалюється на основі розрахунку і аналізу показників ефективності інвестицій. Найчастіше використовуються наступні чотири показники:

1. Чиста поточна вартість (NPV – "net present value"):

де NPCF ("net present cash flow") – чиста поточна вартість вхідних грошових потоків від реалізації проекту;

NPI ("net present investment") – чисті поточні інвестиції в проект;

t– індекс часу;

π_t – вхідний грошовий потік в інтервал часу t;

І_t – інвестиції в інтервалі часу t;

Т – тривалість життєвого циклу проекту;

r – ставка відсотка, прийнята для дисконтування.

Якщо NPV > 0, проект можна приймати.

Ставка відсотка r є платнею за вартість капіталу, що привертається для інвестування. Якщо це банківський кредит, то r – відсоткова ставка за кредитом; якщо емітовані цінні папери – r – відсоток виплат по цінних паперах; якщо використовуються власні засоби, то r – норма прибули при якнайкращому альтернативному вкладенні засобів. У ситуації змішаного фінансування r – середньозважена величина з урахуванням структури інвестиційного капіталу:

де - відповідно частка власного, позикового, акціонерного капіталу в інвестиціях, -

2.Внутрішня частка віддачі (IRR –"internal rate of return") – середньорічний відсоток прибули на інвестиції в проект; розраховується методом проб і помилок із співвідношення:

Якщо IRR > r, проект можна приймати.

3.Індекс прибутковості (PI –"profitabiliti index"):

Якщо PI > 1, проект можна приймати.

4.Період окупності (Т₀) показує, за який період часу надходження від реалізації проекту повністю відшкодують інвестиції. Визначається із співвідношення:

Якщо проект можна приймати.

При розрахунку NPV, IRR, PI або Т₀ необхідно враховувати рівень ризику проекту. Розглянемо на прикладі показника NPV два основні способи обліку ризику.

А) Спосіб певного еквівалента (облік ризику в "чисельнику").

Величина πt замінюється на відповідні значення певних еквівалентів СЕ_t за допомогою коефіцієнтів певного еквівалента α. Для дисконтування використовують безризикову ставку відсотка r_f (ставка за короткостроковими державними зобов'язаннями (ГКО)). Формула для NPV набуває вигляд:

де Е(π_t) – математичне очікування вхідних грошових потоків в періоді t; α(V_t) – коефіцієнт певного еквівалента залежно від варіації грошових потоків в періоді t.

Б) Спосіб пристосування до ризику ставки відсотка (облік ризику в "знаменнику").

При цьому зберігають початкові значення πt і використовують ставку відсотка, що враховує ризик (r_r). Ця ставка визначається співвідношенням:

де r_р – "премія за ризик", в даному випадку деяка надбавка до безризикової ставки відсотка, яка може зацікавити суб'єкта взяти участь в ризикованій операції. Звичайно суб'єкти самостійно визначають розмір "премії", яка складається з декількох складових: премія за ризик країни, в якій реалізується інвестиційний проект (ІП), конкретна галузь, розмір фірми. У результаті формула для NPV приймає вигляд: