1. Биномиальный закон распределения

Пусть производится n независимых испытаний. Каждое испытание имеет два возможных исхода: либо появится событие A («успех»), либо противоположное ему событие («неудача»). Вероятность появления события в каждом отдельном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется. Тогда вероятность «неудачи» равна . Исход каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.

Вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли

,

где − число сочетаний из n элементов по m;

Пример 1._________________________________________________________

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p=0,6. Составим закон распределения случайной величины − числа попаданий при 5 выстрелах. Возможные значения : 0, 1, 2, 3, 4, 5. Так как , то . Вычислим соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

; ;

; ;

; .

Получим закон распределения числа попаданий:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,01024	0,0768	0,2304	0,3456	0,2592	0,07776

Построим многоугольник этого распределения: в прямоугольной системе координат построим точки и соединим их отрезками прямых.

Пусть случайная величина выражает число появлений события в n независимых испытаниях. Закон распределения этой случайной величины называется биномиальным. Числа n и p называются параметрами биномиального распределения.

X	0	1	2	…
P				…

Биномиальное распределение имеют случайные величины: число выпадений герба при бросаниях монеты; число бракованных изделий в проверяемой партии; число правильных ответов в тесте с множественным выбором.

Если случайная величина распределена по биномиальному закону, то ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:

Пример 3._________________________________________________________

Случайная величина Х− число выпадений герба при 100 бросаниях монеты − распределена по биномиальному закону. Найдем .

По условию, n=100, p=0,5, q=1−р=0,5. Значит,

, , .

Рассматривая многоугольник распределения в примере 1, мы видим, что есть такие значения m (в данном случае, одно − m= 3), которым соответствует наибольшая вероятность .

Определение. Число появлений события A, которому соответствует наибольшая вероятность в данной серии испытаний, называется наивероятнейшим и обозначается m₀.

Наивероятнейшее число m₀ появлений события A в n испытаниях определяется из двойного неравенства

Так как , то всегда существует целое число m₀, удовлетворяющее этому неравенству. Если − целое число, то m₀ принимает два значения: m₀ = и m₀ = . Если − дробное число, то m₀ равно целой части этого числа, т.е. m₀ =[ ].

Пример 2._________________________________________________________

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p=0,7. Найдем наивероятнейшее число попаданий, если будет произведено: а) 7 выстрелов; б) 9 выстрелов.

а) =0,7∙(7+1)=5,6; m₀=[5,6]=5;

б) =0,7∙(9+1)=7; значит, m₀ =7 и m₀ =7−1=6.