2.6. Определение численности выборки

При разработке программе выборочного наблюдения, задают величину допустимой ошибки выборки и доверительную вероятность. Неизвестным остается тот минимальный объем выборки, который должен обеспечить требуемую точность. С увеличением допустимой ошибки уменьшается необходимый объем выборки и наоборот. Например, уменьшение выборочной совокупности в 4 раза увеличивает ошибку выборки в 2 раза и, наоборот, чтобы уменьшить ошибку выборки в 2 раза, следует увеличить объем выборочной совокупности в 4 раза. Объем выборки (n) зависят от метода отбора; минимально необходимый объем определяется по формулам таблицы 4.2.

Таблица 4.2

Минимальный объем выборки для собственно случайного и механического отбора

Метод отбора	Объем выборки
	для средней	для доли
Повторный
Бесповторный

Вариация признака (σ²) к началу выборочного наблюдения обычно неизвестна. Приближенно её задают следующими способами:

1) берут из предыдущих исследований;

2) по правилу “трех сигм” общий размах вариации укладывается в 6 сигм (H  6, отсюда   H/6). Для большей точности Н делят на 5;

3) если хотя бы приблизительно известна средняя величина изучаемого признака, то полагают, ;

4) при изучении альтернативного признака, если нет даже приблизительных сведений о доле единиц, обладающих заданным значением этого признака, берется максимально возможная дисперсия, равная 0,25.

При стратифицированном отборе, не пропорциональном объему групп, общее число отбираемых единиц делится на количество групп. Полученная величина даст объем выборки из каждой группы.

При отборе, пропорциональном числу единиц в группе, число наблюдений по каждой группе определяется формулой

где n_i – объем выборки из i-й группы; n - общий объем выборки; N_i – объем i-й группы; N – объем генеральной совокупности.

При отборе с учетом вариации признака, дающем минимальную величину ошибки выборки, процент выборки из каждой стратифицированной группы должен быть пропорционален среднему квадратическому отклонению в этой группе (_i). Расчет численности выборки (n_i) производится по формулам:

для средней для доли

При серийном (гнездовом) отборе необходимую численность отбираемых серий определяют так же, как и при собственно случайном, только вместо N, n и ² подставляют R, r и ²_м.гр., где R – число серий в генеральной совокупности; r – число отобранных серий; ²_м.гр. – межсерийная (межгрупповая) дисперсия.

2.7. Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность

Распространение выборочных оценок на генеральную совокупность состоит в определении характеристик генеральной совокупности на основе характеристик выборочной. Применяются два способа распространения выборочных данных:

1) способ прямого пересчета;

2) способ поправочных коэффициентов.

При первом способе средние величины и доли, полученные в результате исследования выборочной совокупности, переносятся на генеральную. Если известна численность генеральной совокупности, то можно оценить общий объем признака и возможные интервалы этого объема.

Например, по результатам выборочного наблюдения на n=10 га (при общей площади N=2000 га) средняя выборочная урожайность зерновых культур равна 20 ц/га, а дисперсия показателя урожайности равна

.

(В частности, оказывается что предельная ошибка показателя средней урожайности при доверительной вероятности 0,954, т.е. при t=2, равна

)

Можно установить ожидаемый объем валового сбора –

ВС = 20·2000 = 40000 ц.

Пределы возможного валового сбора оцениваются по величине дисперсии этого показателя. Дисперсия возможного валового сбора оценивается как

.

Здесь использовано, то положение, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий каждой случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение показателя валового сбора составляет

Следовательно, с вероятностью 0,997 (т.е. практически всегда) сбор со всей площади ожидается в пределах 40000 ц. плюс-минус 3 средних квадратических отклонения, т.е. от (40000-3·177,2)=39,5 тыс. ц до (40000+3·177,2)=40,5 тыс. ц.

Для определения границ интервала для показателя частоты появления (доли) следует использовать аналогичный подход. Например, в результате выборочного обследования было установлено, что на 7 гектарах из обследованных 10 урожайность была более 15 ц/га. Таким образом, по результатам выборочного обследования доля площадей с урожайностью более 15 ц/га равна 70%, а показатель дисперсии удельного веса доли равен в данном случае σ²_w = 0,70·(1-0,70) = 0,21. Величина средней ошибки, при выборочной оценке удельного веса равна, естественно,

Но делать вывод о возможном интервале удельного веса для всей земельной площади на основании оцененной по выборке ошибки удельного веса было бы преждевременно. Размер площади, обладающей заданным уровнем урожайности (более 15 ц/га) оценивается как 0,70·2000 = 1400 га. Общая дисперсия этого показателя равна 0,7·(1-0,7)·2000 =420 (га)². Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, т.е. 20,5 га. Таким образом, с вероятностью 0,997 границы интервала земельной площади с заданным уровнем урожайности (более 15 ц/га) определяются как:

от 1400-3·20,5 = 1338,5 га

до 1400+3·20,5 = 1461,5 га.

Следовательно, удельный вес площади с заданным уровнем урожайности (более 15 ц/га) с вероятностью 0,997 находится в интервале

от 1338,5/2000 = 0,669 (или, ориентировочно, 67 %)

до 1461,5/2000 = 0,731 (или, ориентировочно, 73 %).

Второй способ распространения результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность используется для уточнения данных сплошного наблюдения. Так, если выборочное наблюдение показало, что недоучет величины исследуемого явления составил 0,5 %, то эту последнюю величину (поправочный коэффициент) распространяют на результат, полученный при сплошном наблюдении, путем увеличения его на 0,5 %.