Линейная Агебра

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

973. В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями:

974. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка M 1 (2; —1; 3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при

975. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М(2; —1; 1) и N (1; 2; — 3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при

образованного двумя плоскостями: 5х—у + z + 3 = 0, 4х — 3у + 2z +5 = 0.

978.Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2х—14у + 6z – 1 =0, 3х + 5у — 5z + 3 = 0, в котором лежит начало координат.

979.Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2х—у + 22 — 3 = 0, 3х + 2у — 6z —1=0, в котором лежит точка М(1; 2; —3).

980.Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 2х — 3у — 42 — 3 = 0, 4х — 3у — 2z — 3 = 0.

981.Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол,

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

§ 41. Уравнения прямой

Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместным заданием двух

при условии, что коэффициенты A1, B1 C1 первого из них не пропорциональны коэффициентам A2, B2 C2 второго (в противном случае эти уравнения будут определять параллельные или слившиеся плоскости).

Пусть некоторая прямая а определена уравнениями (1) и α и β — какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда уравнение

α (A1 x + B1y + C1z + D) + β (A2 x + B2y + C2 z + D) = 0 (2)

определяет плоскость, проходящую через прямую а.

Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел α, β) можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (2) называется уравнением пучка плоскостей.

В таком виде уравнение пучка плоскостей более употребительно, чем уравнение (2), однако уравнением (3) можно определить все плоскости пучка, за исключением той, которой соответствует α = 0, т. е. за исключением плоскости

А 2 X + B2y + C2z + D2 = 0.

982. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости

5х — 7у + 2z — 3 = 0

для того, чтобы эта прямая была параллельна: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) оси Oz.

988. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

A1x B1 y C1z D 0A2 x B2 y C2 z D 0

для того, чтобы эта прямая пересекала: 1) ось абсцисс; 2) ось ординат; 3) ось апликат; 4) совпадала с осью абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала с осью апликат.

989. В пучке плоскостей

2х— 3у + z — 3 + (х + 3у + 2z+1) = 0

найти плоскость, которая: 1) проходит через точку М1 (1;—2; 3); 2) параллельна оси Ох; 3) параллельна оси Оу; 4) параллельна оси Oz.

990.Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей 3х — у + 2z + 9 = О, х + z — 3 = 0: 1) и через точку M1(4; —2; —3); 2) параллельно оси Ох; 3) параллельно оси Оу; 4) параллельно оси Oz.

991.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 2х—у + 3z

— 5 = 0, х + 2у —z + 2 = 0 параллельно вектору l = {2; — 1; —2 }.

992.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 5х — 2у — z — 3 = 0, х + 3у — 2z + 5 = 0 параллельно вектору l = {7; 9; 17 }.

993.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 3х — 2у + z — 3 = 0, х— 2z = 0 перпендикулярно плоскости х — 2у + z + 5 = 0.

994.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

5x y 2z 3 0

3x 2 y 5 2 0

перпендикулярно плоскости х + 19у — 7z— 11 =0.

995. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей 2х + у— z+1=0, х + у + 2z + 1 = 0 параллельно отрезку, ограниченному точками M1 (2; 5; — 3) 2), M2 (3;

— 2; — 2).

996. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей

А 1 X + B1y + C1z + D1 + (А2 х + B2y + С2z + D 2) = 0.

и равноудалённой от точек M1(3; —4; —6), M2(1; 2; 2). 997. Определить, принадлежит ли плоскость

4х — 8у + 17z — 8 = 0

пучку плоскостей

α(5х — y + 4z— 1)+ β(2х + 2у — 3z + 2) = 0.

998. Определить, принадлежит ли плоскость

5х — 9у — 2z + 12 = 0

пучку плоскостей

α(2х — 3y + 4z—5) + β (х — 2у — z — 7) = 0.

999. Определить, при каких значениях l и т плоскость

5х + lу + 4z + т = 0

принадлежит пучку плоскостей

α(3х—7y +z—3) + β(х - 9у — 2z + 5) = 0.

1000. Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей

α(х—3y+7z +36) + β(2х + у —z —15) = 0.

и отстоит от начала координат на расстоянии р = 3.

1001. Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей

α(10х—8y — 15z + 56) + β(4х + у + 3z —1) = 0.

и отстоит от точки С(3; —2; —3) на расстоянии d = 7.

1002. Найти уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей

α(4х+13y - 2z -60) + β(4х +3 у + 3z -30) = 0.

и отсекает от координатного угла Оху треугольник с площадью, равной 6 кв. ед. 1003. Составить уравнения плоскостей, проектирующих прямую —

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1005. Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую

на плоскость 2х — у + 2— 1 = 0.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Ах + 2у— 4z + D = 0?

1048. При каких значениях А и В плоскость

Ах + Ву + Зz — 5 = 0

перпендикулярна к прямой

1052. Найти точку Q, симметричную точке Р(2; —5; 7) относительно прямой, проходящей через точки M1 (5; 4; 6) и М2 (— 2; —17; —8).

1053. Найти проекцию точки Р(5; 2; —1) на плоскость

2x-y+3z+23=0.

1054. Найти точку Q, симметричную точке Р(1; 3; —4) относительно плоскости

Зх+у — 2z = 0.

1055. На плоскости Оху найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А(—1; 2; 5) и В (11; —16; 10) была бы наименьшей.

1056. На плоскости Oxz найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек M1 (3; 2; —5) и М2(8; —4; — 13) была бы наибольшей.

1057. На плоскости

2х — Зу + Зz— 17 = 0

найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А (3; — 4; 7) и В(—5; —14; 17) была бы наименьшей.

1058. На плоскости

2х + 3у —4z—15 = 0

найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек M1 (5; 2; —7) и M2(7; —25; 10) была бы наибольшей.

1059. Точка М(х; у; г) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0 (15; — 24; —16) со скоростью υ=12 в направлении вектора s = {—2; 2; 1}. Убедившись, что траектория точки М пересекает плоскость Зх + 4у +7z — 17 = 0, найти:

1)точку Р их пересечения;

2)время, затраченное на движение точки М от M0 до Р;

3)длину отрезка М0Р.

1060. Точка М (х; у; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0 (28; — 30; —27) со скоростью υ=12,5 по перпендикуляру, опущенному из точки М0 на плоскость 15х— 16у—122+26=0. Составить уравнения движения точки М и определить:

1)точку Р пересечения ей траектории с этой плоскостью;

2)время, затраченное на движение точки М от М0 до Р;

3)длину отрезка М0Р.

1061. Точка М(х; у; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0(11—21; 20) в направлении вектора s = {—1; 2; —2} со скоростью υ=12. Определить, за какое время она пройдёт отрезок своей траектории, заключённый между параллельными плоскостями:

2х+3у + 5z —41=0, 2х + 3у+ 5z+31 =0.

1062. Вычислить расстояние d точки Р(1; —1; —2) от прямой