Ротор (вихрь) векторного поля.
Введем понятие ротора (вихря) векторного поля в точке .
Определение:
Вектор с проекциями
на координатные оси называется ротором
вектора
И обозначается символом
:
Для удобства запоминания используем
символический определитель
где операция умножения элементов второй строки на элементы третьей строки заменяется операцией дифференцирования.
Пример 3
Найти вихрь поля
Решение:
.
Теорема Стокса.
Теорема Стокса является одной из важных теорем теории поля. С помощью ее вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению поверхностного интеграла по поверхности, натянутой на этот контур. Теорему Стокса особенно удобно использовать в том случае, если контур состоит из конечного числа дуг, каждая из которых имеет свое уравнение.
Теорема Стокса:
Циркуляция поля замкнутому контуру равна потоку вихря через любую поверхность , лежащую в векторном поле и имеющую своей границей контур :
.
При этом предполагается, что частные производные функции
на поверхности
непрерывны, а направления на контуре
выбирается так, что если смотреть с
конца нормального вектора
к поверхности
,
обход контура происходит против часовой
стрелки.
Потенциальные и соленоидные поля.
Пусть дано векторное поле
,
где функции
и их частные производные до второго
порядка включительно непрерывны.
Определение:
Поле называется потенциальным, если
существует скалярная функция
такая, что выполняется условие
.
Это векторное равенство трем скалярным
равенствам:
.
Функция , участвующая в определении, называется потенциальной функцией или потенциалом поля. Потенциал векторного поля определяется формулой:
где
-
некоторая физическая точка
,
-
произвольная текущая точка. Вычислим
ротор потенциального поля:
Получили, что потенциальное поле всегда
безвихревое. Можно также доказать, что
из равенства
следует потенциальность поля. Сформулируем
признак потенциальности поля: для того,
чтобы поле
было потенциальным, необходимо и
достаточно, чтобы
.
Свойство потенциального поля.
Потенциальное поле может быть задано
одной скалярной функцией- его потенциалом,
тогда как любое векторное поле требует
задания трех скалярных функций- проекций
вектора
по оси координат.
Циркуляция в потенциальном поле по
любому замкнутому контуру равна 0.
,
так как
Если рассматривать вектор как вектор силы, действующей в потенциальном поле, то получим, что в данном поле работа по любому замкнутому контуру равна 0.
В потенциальном поле криволинейный
интеграл не зависит от пути интегрирования
и равен разности потенциальной функции
в конечной и начальных точках этого
пути:
.
Пример 4
Проверить, будет ли векторное поле
потенцируем?
Решение:
Используем признак потенциального поля. Вычислим
.
Поле потенциальное.
Определение:
Непрерывное в области
векторное поле
называется соленоидным в этой
области, если для любой ограниченной
области
с кусочно гладкой границей
его поток через эту границу равен 0.
Теорема:
Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое
векторное поле
было соленоидным в области
,
необходимо и достаточно, чтобы во всех
точках области
выполнялось:
(1)
Доказательство:
1 Необходимость. Пусть поле
-
соленоидально в
и точке
.
Так как точка
-
внутренняя для
,
то все достаточно малые по диаметру
шары
с центром в этой точке содержатся вместе
с их границами
в
.
В силу соленоидальности поля
для этих шаров имеет место равенство:
,
а следовательно,
2 Достаточность. Если выполняется
условие
,
то для любой области
с кусочно гладкой границей
в силу формулы Остроградского- Гаусса
имеем:
