Лекция 8 (II сем.)

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция определена в окрестности т. и задан единичный вектор . Проведем через т. ось , направление которой совпадает с направлением вектора . Выберем на этой оси произвольную т. и рассмотрим направленный отрезок .

Из аналитической геометрии известно, что координаты т. определяются равенствами

, ,

На указанной оси функция является сложной функцией одной переменной величины . Если эта функция имеет в т. производную по переменной , то эта производная называется производной по направлению от функции в т. и обозначается:

.

Т.к. , , , то из последней формулы находим:

(8)

(Т.к. все величины в правой части этого равенства не зависят от выбора с/к (они определяются функцией , т. и ), то производная по направлению в т. функции , аргументом которой является точка пространства, не зависит от выбора с/к).

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в заданном направлении.

Пример. Вычислить производную функции в т. в направлении к т.

Решение:

, где - направляющие косинусы вектора .

1) , .

, , .

2) ,

Ответ: .

Опр.	Градиентом функции в т. называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в т. :

Использовав понятие и скалярного произведения, формулу (8) для производной по направлению можно записать следующим образом:

Градиент указывает направление наибольшего роста функции в рассматриваемой точке. Если , то направление является единственным направлением, по которому в данной точке имеет наибольшее значение (оно достигается если и . Если же , то в данной точке производные по всем направлениям =0.

Пример.

Решение:

1) ,

2) .

Обобщим понятие производной по направлению и градиента на случай функции многих переменных.

Если функция дифференцируема в т. , то в этой точке существует производная по любому направлению и

Градиент функции в общем случае определяется по формуле:

.

Частные производные высших порядков.

Частные производные функции в свою очередь являются функциями, и поэтому можно рассматривать их частные производные. Например, у функции могут существовать частные производные ,

.

Производные называются частными производными второго порядка. Аналогично определяются производные более высоких порядков.

Оказывается, что при достаточно общих условиях результат дифференцирования по различным переменным не зависит от выбора порядка переменных, по которым происходит дифференцирование.

Теорема

Если функция определена вместе со своими частными производными , , и в некоторой окрестности точки и производные и непрерывны в этой точке, то .

Из этой теоремы в случае непрерывности соответствующих частных производных следует независимость результата дифференцирования от порядка переменных, по которым проводится дифференцирование, для функции любого числа переменных и для частных производных любого порядка.

Пример.

Решение:

,

, .