Лекция 9 (II сем.)
Интегральные операции в многомерных пространствах.
Кратные (двойные, тройные), криволинейные и поверхностные интегралы, как и обыкновенные (однократные) определенные интегралы, служат для вычисления различных величин. Все эти указанные интегралы определяются вполне аналогично и отличаются друг от друга в основном лишь областью интегрирования. Если вычисление однократного интеграла происходит на отрезке изменения одной переменной, то кратные, криволинейные и поверхностные интегралы рассматриваются в плоской области изменения двух переменных, или в пространственной области изменения трех переменных, или вдоль некоторой кривой, или по некоторой поверхности.
Двойной интеграл.
Пусть
-
любая функция, непрерывная в некоторой
замкнутой области
плоскости
.
1) Разобьем область
произвольно на
элементарных областей,
не имеющих общих внутренних точек, и
обозначим их площади,
а диаметры через
(где
-
максимальное расстояние между двумя
точками на границе области
).
Пусть
-
наибольший из диаметров.
2) Выберем в каждой
частичной области по произвольной точке
и составим сумму вида:
(1)
Где
-
значение функции в точке
и называется интегрируемой суммой
для функции
по области
.
Интеграл Римана по квадрируемой области.
Определение:
Если существует
предел при
интегральных сумм (1), то этот предел
называется интегралом Римана от
функции
по области
и обозначается
Какие же области
квадрируемы? Область
называется простой, если ее граница
состоит из конечного числа замкнутых
контуров
каждой из которых является непрерывной
кусочно-гладкой замкнутой кривой, не
имеющей самопересечений. (Мы говорим,
что кривая
является кусочно-гладкой, если она
непрерывна и состоит из конечного числа
частей таких, что на каждой
-
уравнение кусочно-гладкой кривой, то
вектор
-
кусочно-непрерывен). Всякая простая
область квадрируема.
Интегрируемость непрерывных и кусочно-непрерывных функций.
Непрерывная и
ограниченная в замкнутой области
функция
равномерно непрерывна в ней, то
есть для
,
что для
точек
и
,
таких, что
выполняется:
Определение:
Функцию
будем называть кусочно-непрерывной
в области
,
если область
можно разбить на конечное число частей
таких, что в каждой открытой области
функция
будет равномерно непрерывной.
Имеем следующее предположение: функция , кусочно-непрерывная в квадрируемой области , интегрируема по этой области.
Основные свойства двойных интегралов.
Предположение,
сделанное выше есть простое следствие
следующего свойства интеграла Римана
по области
:
если функция
интегрируема в областях
и
,
то она интегрируема и в объединении
этих областей; при этом, если области
и
не имеют общих внутренних точек, то:
.
Двойной интеграл
от суммы функций равен сумме двойных
интегралов от всех слагаемых:
.
Постоянный
множитель можно выносить за знак двойного
интеграла:
.
Сведение интеграла по области к повторному.
Пусть всякая прямая
параллельная оси
и пересекающая область
,
имеет с ее границами не более двух общих
точек. Прямые
и
касаются границ области в точке
и
граница разбивается на две линии
и
,
каждая из которых пересекается с любой
прямой, параллельной оси
,
одной точке, тогда (такая область
называется стандартной (правильная)
относительно оси
):
уравнение
уравнение
Выражение
будем называть двойным интегралом
от функции
по области
.
Если рассматривать
прямую
пересекающую область
в точке входа
имеющую
ординату
в точке
выхода, имеющую ординату
тогда
,
где
и
-
соответственно наибольшие и наименьшие
значения переменной
Вычисления двукратного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, сначала вычисляется внутренний интеграл, считая одну из переменных постоянной, а результат интегрируется по внешней переменной.
Пример1.
Вычислить
Решение: Сначала
вычисляем внутренний интеграл, где
является переменной, а
постоянная:
