Определение условного экстремума.
Во многих задачах на разыскание наибольших и наименьших значений функции вопрос сводится к разысканию и функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями.
Рассмотрим сначала вопрос об условном
экстремуме функции двух переменных,
если эти переменные связаны одним
условием. Пусть требуется найти
и
функции
(4) при условии, что
и
связаны уравнением:
(5).
При наличии условия (5) из двух переменных
и
независимым будет только одно, например
,
т.к.
определяется из (5) как функция от
.
Из (4) находим
:
=
Следовательно, в т. экстремума:
=0 (6)
Из (5) находим:
=0
(7)
(Умножим (7) на неопределенный коэффициент
и сложим с (6) ), получим:
+
=0
или
(8)
Равенство (8) выполняется во всех точкам
экстремума. Подберем
так, чтобы для
и
,
соответствующих экстремуму функции
,
вторая скобка в (8) обратилась в 0, т.е.:
Но тогда при этих значениях и из (8) следует равенство
.
Т.о., получается, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения
(9)
с тремя неизвестными
и
(вспомогательная переменная).
Система (9) является необходимым условием
условного экстремума. Но не при всяких
и
удовлетворяющих системе (9) имеет место
экстремум, поэтому необходимо проводить
дополнительное исследование характера
критической точки.
Заметим, что левые части уравнений (9) есть частные производные функции Лагранжа:
.
(10)
Т.о., чтобы найти критические точки условного экстремума, надо составить функцию Лагранжа, приравнять 0 её частные производные по и и из полученной системы уравнений определить искомые и вспомогательный множитель .
Этот метод распространяется и на случай функций от переменных, связанных условиями:
, где
Чтобы найти критерии точки составим функцию Лагранжа:
=
Приравняем 0 её частные производные по
:
Решая систему из
уравнений определяем критические точки
и вспомогательные параметры. А вопрос
будет ли при найденных решениях функция
иметь экстремум, оставим открытым, т.к.
он требует вспомогательных исследований.