Достаточные условия экстремума функции.

Опр.	Квадратичная форма , называется положительно (отрицательно) определенной, если для выполняется неравенство .

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными.

Опр.	Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются знакопеременными.

Теорема

Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в окрестности критической т. . Тогда, если второй дифференциал функции является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то есть точка строгого . Если второй дифференциал - знакопеременная квадратичная форма, то в т. экстремума нет.

Рассмотрим случай функции двух переменных и сформулируем для него достаточные условия в терминах, удобных для применения.

Теорема

Пусть в некоторой область, содержащей т. функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, т. - критическая точка (т.е. = 0) и (дискриминант). Тогда: 1) имеет , если: и 2) имеет , если: и 3) не имеет ни , ни , если: 4) если , то экстремума может и не быть (в этом случае проводят специальное исследование).

Доказательство:

Положим , и напишем формулу Тейлора второго порядка для функции .

= + + +

+

где , а при .

По условию = =0

= - =

+ (1)

Обозначим: , , ,

Через - угол между направлением и осью , тогда , .

Подставим эти выражения в формулу для (1):

= (2)

Разделив и умножив на выражение, стоящее в квадратных скобках, получим:

= =

= (3)

Рассмотрим теперь 4 возможных случая:

1) Пусть , .

Тогда в числителе дроби стоит неотрицательная величина. Она в не обращается т.к. первое слагаемое обращается в 0 при , а второе при .

Если , то дробь есть отрицательная величина, не обращающая в 0. Обозначим её через - тогда:

= ,

где не зависит от , а при . Следовательно при достаточно малых будет:

или ,

т.е. в т. достигает .

2) Пусть , .

Тогда аналогично рассуждая, получим:

=

или

т.е. в т. достигает .

Пусть , .

В этом случае функция возрастает, когда мы движемся из т. по одним направлениям, и убывает, когда мы движемся по другим направлениям. Действительно, при перемещении вдоль луча имеем:

=

(т.е. функция возрастает)

Если же перемещается вдоль луча , такого, что , то при будет:

=

(т.е. функция убывает)

В этом случае нет ни , ни .

Пусть , .

Исследование проводится так же, как и в случае . Функция не имеет ни , ни .

Пусть , . Тогда и равенство (2) можно переписать в виде

= .

При достаточно малых значениях выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет знак, т.к. оно близко к , а множитель меняет знак в зависимости от того, будет ли больше 0 или меньше 0. следовательно, и в этом случае меняет знак при различных , т.е. не имеет ни , ни .

Если в т. , то в этом случае поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь, например, форму седла. Говорят, что функция в этой точке имеет мини-махе.

4) . В этом случае на основании формул (2) и (3) сделать заключение о знаке нельзя. Так, например, при будем иметь:

= ,

при знак определяется знаком , здесь требуется специальное дальнейшее исследование (например, с помощью формулы Тейлора более высокого порядка или каким – либо иным способом).

Пример. ,

Решение:

1) стационарной точки

2)

Есть экстремум.

Т.к. , то это

.