Дифференциалы высших порядков.

Для дифференцируемой функции её дифференциал имеет вид:

и является функцией от переменных .

Вычислим дифференциал от , рассматривая его только как функцию от (т.е. зафиксировав значения ). Получаем:

.

Т.о.

Аналогично определяются и дифференциалы высших порядков

.

Дифференциал -го порядка функции двух переменных может быть записан в виде символической формулы:

(9)

которая формально развертывается как -ая степень суммы, заменяя степень производных соответствующими их порядками. Для и получаем:

.

Пример2. Для функции найти .

Решение:

; ;

; .

.

Приложения дифференциального исчисления. Формула Тейлора.

Формула Тейлора осуществляет аппроксимацию функции в окрестности базовой точки полиномом -ой степени и в символической форме имеет вид

,

где - остаточный член.

Учитывая (9), её можно компактно записать в дифференциальной форме

Для формула Тейлора принимает вид

и с точностью до остаточного члена совпадает с линеаризирующей функцией (4). На практике часто ограничиваются вторыми производными в формуле Тейлора :

. (10)

Применение формулы Тейлора позволяет значительно повысить точность приближенных вычислений за счет сохранения требуемого числа её членов.

Пример3. Построить аппроксимирующий полином второй степени для функции в окрестности точки .

Решение:

Искомый полином представляет собой формулу Тейлора без остаточного члена при . Вычислим значение функции и её производных в базовой точке :

;

; ;

;

.

Т.к. , , Используя (10), запишем искомый полином

.

Лекция 8 (II сем.)

Экстремумы функций многих переменных.

Пусть функция определена на множестве , которое содержит некоторую окрестность т. .

Опр.	Функция имеет в т. локальный , если существует окрестность т. , что для всех точек из этой окрестности выполняются неравенства .

и называются экстремумами функции.

Пример1.

.

Если при имеет место неравенство , то т. называется точкой строгого локального .

Необходимое условие экстремума.

Теорема

Если определена в окрестности т. экстремума и если в этой существует частная производная , то она равна 0 =0 или не существует.

Доказательство:

Пусть для определенности . Если т. является точкой экстремума функции , то т. является точкой экстремума функции одного переменного . При этом, т.к. была внутренней точкой множества определения функции , то т. является внутренней точкой определения функции . Следовательно, по т. Ферма:

.

Точки, в которых =0 или называются критическими.

Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функции.