- •Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами. Круги Эйлера.
- •Операции над множествами: пересечение, объединение, дополнение подмножества, разбиение на классы. Декартово произведение двух множеств. Основные законы операций над множествами.
- •Математические понятия. Объём и содержание понятия. Определение понятий. Способы задания понятий. Требования к определению понятий.
- •Математические предложения. Понятие высказывания и высказывательной формы (предикаты). Простые и составные высказывания. Операции над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция двух высказываний.
- •Высказывания с кванторами общности и существования. Отрицание высказываний с кванторами. Правила построения отрицаний высказываний с кванторами.
- •Структура теорем. Виды теорем и связь между ними.
- •Математическое доказательство. Правильные и неправильные рассуждения. Примеры неправильных рассуждений. Простейшие схемы правильных рассуждений.
- •Текстовая задача, её структура, методы и способы решения.
- •Этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения.
- •Решение задач на «части». Решение задач, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов)
- •Решение задач на движение.
- •Понятие комбинаторной задачи. Правила суммы и произведения. Основные формулы комбинаторики.
- •Алгоритмы и их свойства.
- •Элементы алгебры. Соответствие между двумя множествами.
- •Элементы алгебры. Числовые функции. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики.
- •Отношения на множестве, способы их задания. Свойства бинарных отношений между элементами одного множества. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
- •Алгебраические операции на множестве. Свойства алгебраических операций.
- •Выражения и их тождественные преобразования
- •Уравнение с одной переменной. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений.
- •Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств.
- •Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел, законы сложения и умножения.
- •Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Вычитание и деление натуральных чисел.
- •Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл суммы и разности двух целых неотрицательных чисел.
- •Теоретико-множественный смысл произведения и частного целых неотрицательных чисел. Законы умножения (с доказательством).
- •Смысл натурального числа и действия над числами, являющимися результатами измерения величин
- •Система счисления. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними в десятичной системе счисления.
- •Делимость целых неотрицательных чисел
- •Расширение понятия о числе. Понятие дроби. Положительные рациональные числа. Действительные числа.
- •Свойства геометрических фигур на плоскости.
- •Величины и их измерения.
Уравнение с одной переменной. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений.
Изучение элементов алгебры на уроках математики в начальной школе. Понятие уравнения с одной переменной. Корень уравнения. Что значит решить уравнение. Равносильные уравнения. Равносильные преобразования. Теоремы о равносильности уравнений. Правила нахождения неизвестного слагаемого; неизвестного уменьшаемого, неизвестного вычитаемого, неизвестного множителя, неизвестного делимого, неизвестного делителя.
Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств.
Изучение элементов алгебры на уроках математики в начальной школе. Понятие Неравенство с одной переменной. Что значит решить неравенство. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств. Тождественные преобразования неравенств: прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа, умножение обеих частей неравенства на одно и то же положительное (отрицательное) число.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел, законы сложения и умножения.
Аксиоматический способ построения теории. Основное понятие арифметики натуральных чисел. Аксиомы Пеано. Определение натурального числа. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения натуральных чисел: ассоциативность, коммутативность. Умножение натуральных чисел. Свойства умножения натуральных чисел: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность справа и слева относительно сложений. Отношение «меньше» на множестве натуральных чисел. Упорядоченность множества натуральных чисел.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Вычитание и деление натуральных чисел.
Аксиоматический способ построения теории. Основное понятие арифметики натуральных чисел. Аксиомы Пеано. Определение натурального числа. Понятие вычитания натуральных чисел как операции, обратной сложению. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Понятие деления натуральных чисел как операции, обратной умножению. Правила деления суммы на число, разности на число и произведения на число. Количественные натуральные числа. Отрезок натурального ряда. Счет.
Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл суммы и разности двух целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественная модель системы натуральных чисел. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Теоретико-множественный смысл нуля. Определение отношений «равно» и «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл суммы двух целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Условие существования разности на множестве целых неотрицательных чисел. Законы сложения. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Теоретико-множественный смысл произведения и частного целых неотрицательных чисел. Законы умножения (с доказательством).
Теоретико-множественная модель системы натуральных чисел. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел. Объединение равномощных попарно непересекающихся множеств. Законы умножения. Определение частного через произведение. Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества. Условие существования частного на множестве целых неотрицательных чисел.