- •Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами. Круги Эйлера.
- •Операции над множествами: пересечение, объединение, дополнение подмножества, разбиение на классы. Декартово произведение двух множеств. Основные законы операций над множествами.
- •Математические понятия. Объём и содержание понятия. Определение понятий. Способы задания понятий. Требования к определению понятий.
- •Математические предложения. Понятие высказывания и высказывательной формы (предикаты). Простые и составные высказывания. Операции над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция двух высказываний.
- •Высказывания с кванторами общности и существования. Отрицание высказываний с кванторами. Правила построения отрицаний высказываний с кванторами.
- •Структура теорем. Виды теорем и связь между ними.
- •Математическое доказательство. Правильные и неправильные рассуждения. Примеры неправильных рассуждений. Простейшие схемы правильных рассуждений.
- •Текстовая задача, её структура, методы и способы решения.
- •Этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения.
- •Решение задач на «части». Решение задач, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов)
- •Решение задач на движение.
- •Понятие комбинаторной задачи. Правила суммы и произведения. Основные формулы комбинаторики.
- •Алгоритмы и их свойства.
- •Элементы алгебры. Соответствие между двумя множествами.
- •Элементы алгебры. Числовые функции. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики.
- •Отношения на множестве, способы их задания. Свойства бинарных отношений между элементами одного множества. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
- •Алгебраические операции на множестве. Свойства алгебраических операций.
- •Выражения и их тождественные преобразования
- •Уравнение с одной переменной. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений.
- •Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств.
- •Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел, законы сложения и умножения.
- •Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Вычитание и деление натуральных чисел.
- •Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл суммы и разности двух целых неотрицательных чисел.
- •Теоретико-множественный смысл произведения и частного целых неотрицательных чисел. Законы умножения (с доказательством).
- •Смысл натурального числа и действия над числами, являющимися результатами измерения величин
- •Система счисления. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними в десятичной системе счисления.
- •Делимость целых неотрицательных чисел
- •Расширение понятия о числе. Понятие дроби. Положительные рациональные числа. Действительные числа.
- •Свойства геометрических фигур на плоскости.
- •Величины и их измерения.
Алгоритмы и их свойства.
Понятие алгоритма как программы действий для решения задач определённого типа. Свойства алгоритма. Определённость алгоритма. Дискретность алгоритма. Понятность алгоритма. Результативность алгоритма. Массовость алгоритма. Способы записи алгоритма. Словесная, формульная и табличная записи. Запись алгоритмов на языке блок-схем. Запись алгоритмов на определённом алгоритмическом языке. Виды алгоритмических процессов: линейные, разветвляющиеся, циклические. Приёмы построения алгоритмов: пошаговая детализация, приём, основанный на решении частных задач и др.
Элементы алгебры. Соответствие между двумя множествами.
Примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики. Способы задания соответствий: предложение с двумя переменными; граф; перечисление пар элементов, находящихся в заданном соответствии; график. Понятие соответствия между двумя множествами как подмножество декартова произведения множеств. Соответствие, обратное данному. Взаимно обратные соответствия. Взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества. Счетное множество.
Элементы алгебры. Числовые функции. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики.
Понятие функции. Пропедевтика понятия функция. Примеры функциональных зависимостей. Область определения функции. Множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Монотонность функции: возрастание и убывание. Прямая пропорциональность, её свойства и график. Обратная пропорциональность, её свойства и график. Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач.
Отношения на множестве, способы их задания. Свойства бинарных отношений между элементами одного множества. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Отношения на множестве. Примеры отношений между понятиями, между предложениями и между числами. Виды отношений на множестве: бинарные, тернарные, n-арные. Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания отношений: граф; перечисление пар элементов, находящихся в заданном отношении. Свойства бинарных отношений между элементами одного множества: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность. Отношения эквивалентности и их связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Упорядоченное множество.
Алгебраические операции на множестве. Свойства алгебраических операций.
Алгебраические операции на множестве. Множество, замкнутое относительно алгебраической операции. Частичная алгебраическая операция. Нейтральный элемент относительно алгебраической операции. Поглощающий элемент относительно алгебраической операции. Свойства алгебраических операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность (слева и справа), сократимость. Алгебра (Z0, +, ∙), изучаемая в начальном курсе математики, и её основные характеристики.
Выражения и их тождественные преобразования
Взаимосвязь алгебры и арифметики. Изучение элементов алгебры на уроках математики в начальной школе. Понятие числового выражения. Значение числового выражения. Числовые выражения, не имеющие смысла. Выражения с переменной. Тождественно равные выражения. Тождественные преобразования выражений. Теоретическая основа тождественных преобразований выражения: свойство дистрибутивности умножения относительно сложения, принцип записи числа в десятичной системе счисления, правило прибавления суммы к числу, правило вычитания числа из суммы и другие.