1) Основные характеристики выборки

Средние значения: и .

Стандартные отклонения: и

(где и ).

Выборочная ковариация:

Вариация (выборочная дисперсия):

И так, по данным регионам на 1000 чел. населения в среднем приходится 283,81 автомобиль со стандартным отклонением 71,74 автомоб. (что говорит о достаточном различии регионов по данному показателю), а среднедушевые доходы в среднем в месяц по данным регионам составили 2512,048 руб. со стандартным отклонением 1286,488 руб. (что говорит о значительном различии доходов населения по регионам).

Поле корреляции и линия регрессии:

Сначала построим поле корреляции – точки с координатами (х_i, у_i), и принимая во внимание экономические соображения, по их расположению сформулируем предположение о связи Y и X.

Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой линии, но не очень плотно, рассеиваясь около неё. Нельзя сказать, что прослеживается тесная зависимость, но можно заметить, что с увеличением размера среднедушевого дохода Х наблюдается сильная тенденция у населения регионов к увеличению количества легковых автомобилей Y. Можно предположить, что связь количества легковых автомобилей и среднедушевого дохода положительная, не очень тесная, и на количество легковых автомобилей оказывают влияние и другие факторы (развитие автодорог в регионе, цены на автомобили, цены на бензин, развитие общественного транспорта и пр.)

Это предположение проверим с помощью выборочного коэффициента корреляции:

(где ).

Линейная связь положительна, теснота связи средняя, умеренная.

2) Линейная парная регрессионная модель

Предположим, что связь между количеством автомобилей и среднедушевыми доходами – линейна, то есть эконометрическая модель для генеральной совокупности имеет линейный вид: , а значит, и для данной выборки модель также линейна: ; то есть решение сводится к нахождению линейного уравнения регрессии по выборке: . Таким образом, нужно найти коэффициенты регрессии b₀, b₁, являющиеся оценками параметров ₀ и ₁ линейной модели. Используя для этого классический подход, который основан на методе наименьших квадратов, приходим к системе нормальных уравнений:

.

Все необходимые числовые значения рассчитаны ранее (см. расчетную таблицу), подставим их в систему нормальных уравнений:

или

или с помощью функций:

b₀ = ОТРЕЗОК (y, x) = 193,93

b₁ = НАКЛОН (y, x) = 0,036

и решим её относительно b₀, b₁. Получим коэффициенты регрессии: b₀=193,93 и b₁= 0,036.

Итак, уравнение регрессии имеет вид: .

Коэффициент b₀=193,93 можно формально интерпретировать как количество легковых автомобилей при среднедушевых доходах населения, равных нулю, т.е. при х=0, понятно, что по смыслу задачи в данном случае b₀ не имеет содержательной экономической интерпретации. А коэффициент b₁= 0,036 показывает, что полученная линейная связь количества автомобилей (результативного признака Y) и размера среднедушевых доходов (фактора Х) – положительная, то есть при увеличении размера среднедушевых доходов населения на 1000 руб. в месяц количество легковых автомобилей в регионе в среднем увеличивается на 0,036 автомобиля на 1000 чел..

В декартовой системе координат ХОУ на поле корреляции строим график линии регрессии по найденному уравнению (см. выше).