§ 2.7. Маршруты и пути.
§ 2.7.1. Маршрут, путь, вес и длина пути.
Опр.4. Пусть G – неориентированный (n,m)-граф, G=(V,E), viV, ej E.
Чередующаяся последовательность вершин и рёбер графа
v1, e1, v2, e2, ...vi, ei, vi+1, ... vl+1
такая, что ei =(vi,vi+1 ) называется маршрутом, соединяющим v1 и vl+1 вершину, или (v1,vl+1) маршрутом (обозначается (v1,vl+1)). Иначе говоря, маршрут – это такая последовательность перечисления элементов графа, в которой любые два рядом стоящие элемента инцидентны.
Есть условность индексирования элементов в маршруте. Индексы указывают не истинный номер вершины или ребра в графе, а порядок их перечисления в данном маршруте.
Этот же маршрут можно задать либо последовательностью его вершин v1,v2,...vi, vi+1,...vl+1 либо рёбер e1,e2,...ei,...еl.
Путём (или ориентированным маршрутом) ориентированного графа называется последовательность дуг, в которой начало каждой последующей дуги является концом предыдущей.
П
уть
a1,a2,...ai,...aq
называются
замкнутыми, если в нём начальная вершина
дуги а1
совпадает с конечной вершиной дуги аq.
Пример 7.
Последовательности дуг:
1) а6, а5, а9, а8, а4,
2) а1, а6, а5, а9
3) а1, а6, а5, а9, а10, а6, а4
являются путями.
Маршрут в ориентированном графе – это неориентированный двойник пути; рассматривается только в том случае, когда направленностью дуг в графе можно пренебречь.
Длиной (или мощностью) пути называется число дуг, входящих в него. При рассмотрении пути на графе с взвешенными дугами, представленного последовательностью дуг (а1, а2, ... аq) за его вес (или стоимость) принимается число (), равное сумме весов всех дуг, входящих в , т.е.
() = cij, где (xi, xj)
§ 2.7.2. Цепи, орцепи, простые цепи и простые орцепи.
Цепью называется такой маршрут, в котором каждое ребро используется не более одного раза.
Ориентированной цепью (или, короче, орцепью) называется такой путь, в котором каждая дуга используется не больше одного раза.
Так, 1-й и 2-й пути из примера 7, являются орцепями, а 3-й – нет, т. к. дуга а6 в ней используется дважды.
Простой цепью (простой орцепью) называется такой маршрут (путь), в котором каждая вершина используется не более одного раза.
Очевидно, что простая орцепь является также и орцепью. Обратное утверждение неверно.
Так в примере 7, путь 1 является орцепью, но не простой орцепью, путь 2 является орцепью и простой орцепью, путь 3 не является ни орцепью, ни простой орцепью.
§ 2.7.3. Циклы, орциклы, простые циклы, простые орциклы (контуры).
Замкнутая цепь называется циклом. Особое значение имеет Эйлеров цикл. Это цикл, который проходит ровно один раз по каждому ребру неориентированного графа. Не все графы имеют Эйлеров цикл.
Аналогично предыдущему определению, замкнутая орцепь называется орциклом.
Замкнутая простая цепь (орцепь) называется простым циклом (орциклом). Простые орциклы называются ещё контурами.
Пример 8.
В
данном графе последовательности дуг
а3, а6, а11 (1)
а11, а3, а4, а7, а1, а12, а9 (2)
а3, а4, а7, а10, а9, а11 (3)
являются замкнутыми путями.
Пути (1) и (3) являются контурами, т. к. в них любая вершина используется только один раз (за исключением начальной и конечной, которые совпадают), а путь (2) не является контуром, т. к. вершина x1 используется в нём дважды.
Контур, проходящий через все вершины графа, имеет особое значение и называется гамильтоновым контуром. Например, контур (3) из примера 8 является гамильтоновым контуром. Не все графы обладают гамильтоновыми контурами.