Пример 2.

Д ан граф G = (X,Г); X = {x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆}

Имеем:

Г(x₁) = 

Г(x₂) = {x₅}

Г(x₃) = {x₂,x₄}

Г(x₄) = {x₁}

Г(x₅) = {x₄,x₆}

Г(x₆) = {x₁,x₃}

При таком задании неориентированных графов предполагается, что соответствие Г задаёт такой ориентированный граф, который получается из исходного удвоением каждого ребра и придания им противоположной направленности.

О писать граф можно и обратным соответствием. Под обратным соответствием Г^-1(x_i) будем понимать множество вершин x_k, для которых в графе G существует дуга (x_k, x_i).

Пример 3.

Дан граф G = (X,Г) X = {x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆}

Имеем: Г^-1(x₁) = {x₆}

Г^-1(x₂) = {x₁,x₃}

Г^-1(x₃) = {x₆}

Г^-1(x₄) = {x₃,x₅}

Г^-1(x₅) = {x₂}

Г^-1(x₆) = {x₅}

Очевидно, что для неориентированного графа Г^-1(x_i) = Г(x_i) для всех x_iХ.

Когда мы рассматриваем действие отображения Г не на одну, а на множество вершин Х_q = {x₁, x₂, ...x_q}, то под Г(Х_q) понимаем объединение

Г(Х_q) = Г (x₁)  Г (x₂)  ...  Г (x_q)

Отображение Г(Г(x_i)) записывают как Г²(х_i). “Тройное отображение” Г(Г(Г(x_i))) обозначают Г³(x_i) и т. д. Аналогично понимаются отображения Г^-2(x_i), Г^-3(x_i) и т. д.

Для формализованных описаний, в частности, для представления графа в компьютере, используются матричные способы задания графов.

§ 2.3.2. Матрица смежности. Задать в графе отношение смежности – это указать, какие вершины смежны. Обычно это задается матрицей смежности.

Пусть дан орграф G. Его матрица смежности обозначается через А=[а_ij] и определяется т.о.:

а_ij = 1, если в G  дуга (x_i,x_j)

а_ij = 0, если в G не  дуги (x_i,x_j)

Поскольку матрица смежности определяет отношения смежности между вершинами графа, то её размер n  n, где n - порядок графа.

Пример 4.

	x1	x2	x3	x4	x5	x6
х1	0	1	1	0	0	0
х2	0	0	0	0	1	0
х3	0	1	0	1	0	0
х4	1	0	0	0	0	1
х5	0	0	0	1	0	1
х6	1	0	0	0	0	0

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Например, сумма всех элементов строки x_i дает полустепень исхода вершины x_i, а сумма столбика x_j – полустепень захода вершины x_j.

Множество столбцов, имеющих 1 в строке x_i, есть отображение Г(x_i), а множество строк, имеющих 1 в столбце x_j, - обратное отображение Г^-1(x_j).

Возведем матрицу смежности в квадрат. Пусть элемент а_ik матрицы А² определяется по формуле:

а_ik =  а_ij  a_jk

Слагаемое в уравнении равно 1 тогда и только тогда, когда оба числа a_ij и a_jk равны 1, в противном случае оно равно 0. Поскольку из равенства a_ij = a_jk =1 следует существование пути длины 2 из вершины x_i к x_k, проходящего через вершину x_j, то а_ik равно числу путей длины 2, ведущих из x_i в x_k.