Алгоритмы перевода чисел в другую систему счисления, использующие арифметику новой системы счисления (q).
Для перевода чисел в десятичную систему из любой другой удобно пользоваться арифметикой десятичной системы. В этих случаях используются алгоритмы перевода целых и дробных чисел, представленных в виде полинома
Пусть Хq = anan-1…a1a0, где Х – число, записанное в системе счисления с основанием q; an, an-1, …, a1, a0 – цифры в записи числа. Тогда в десятичной системе
Х = an* q n + an-1* q n-1 +…+ a1* q1 + a0* q0.
Алгоритм перевода дробного числа из q- системы счисления в десятичную:
Пусть nq = 0,a1a2…an-1an, тогда в 10-СС n = a1 * q-1 + a2 * q-2 + … + an * q-n.
Пример 1. 10110101(2) = 1.27 + 0.26 + 1.25 + 1.24 + 0.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 181.
0,110010(2) = 1.2-1 + 1. 2-2 + 0.2-3 + 0.2-4 + 1.2-5 + 0.2-6 = 0,78125.
Пример 2. Перевести в 10 – СС число 0,011.
0,0112 = 0*2-1 + 1*2-2 + 1*2-3 = 0,25 + 0,125 = 0,375.
Перевод чисел в системах счисления с кратными основаниями.
Перевод чисел в системах с кратными основаниями не требует выполнения арифметических действий и выполняется с использованием табличной шифрации (см. табл. 1).
Первый случай. X(p) X(q); p = qk. Каждая цифра числа X(p) заменяется своим k-разрядным представлением в q-системе.
Пример. p = 8; q = 2; k = 3. Исходное число: 123,4566(8).
-
1
2
3,
4
5
6
6
001
010
011,
100
101
110
110
Каждая восьмеричная цифра заменена двоичной триадой (см. выделенную штриховой линией часть табл. 1).
Примечание: незначащие нули в старших и младших разрядах двоичного числа можно опустить. Ответ: 1010011,10010111011(2).
Пример. p = 16; q = 2; k = 4. Исходное число: 79A,2C(16).
-
7
9
А,
2
С
0111
1001
1010,
0010
1100
Каждая шестнадцатеричная цифра заменена двоичной тетрадой.
Ответ: 11110011010,001011(2). Здесь также опущены незначащие нули в младших и старших разрядах при записи двоичного числа.
Второй
случай. X(p)
X(q);
q
= pk.
Число в исходной p-системе
разбивается на группы по k
разрядов
вправо и влево от запятой, причем в
неполные группы добавляются нули (справа
- для дробной части, слева - для целой).
Каждая группа из k
цифр p-системы
заменяется одним эквивалентным ей
символом q-системы.
Пример. Перевести двоичное число 1010011,10010111011 в восьмеричную систему.
-
001
010
011,
100
101
110
110
1
2
3,
4
5
6
6
Ответ: 123,4566(8).
Пример. Перевести двоичное число 11110011010,001011 в шестнадцатеричную систему.
-
0111
1001
1010,
0010
1100
7
9
A ,
2
C
Ответ: 79A,2C(16).
Приведенные примеры показывают, что представление двоичного числа в восьмеричной (шестнадцатеричной) системе счисления сокращает длину записи в три (четыре) раза.