Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Понятие о системах счисления.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
14.08.2019
Размер:
136.7 Кб
Скачать

3. Понятие о системах счисления

Для построения сообщений в письменной форме используют обычно конечное число графических обозначений – знаков. Набор допустимых знаков – алфавит. В компьютере информация представляется в виде электрических сигналов высокого и низкого напряжения. Это представление информации основано на использовании 2 - СС.

Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и записывать их количество.

Самой первой, вероятно, возникла унарная (или унитарная) система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке, палочек, черточек). Унарная запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

Появились разные условные обозначения для различных чисел.

Системой счисления называют совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.

СС можно разделить на позиционные и непозиционные. До изобретения позиционных систем счисления использовались непозиционные системы счисления, в которых от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Среди них наиболее известны римская система счисления, унитарная, а также современная система счисления в остаточных классах.

В римской системе счисления в качестве цифр используются латинские буквы (1 -- I, 5 -- V, 10 -- X, 50 -- L, 100 -- C, 500 -- D, 1000 -- M). Цифры записываются слева направо в порядке убывания. Если меньшая цифра записана справа, а большая – слева, то их значения складываются, а если меньшая цифра записана слева, то её значение вычитается.

Пример: LXIV = 50 + 10 + (-1 + 5) = 94. В этой системе число 1997 будет записано как MCMXCVII.

В системе остаточных классов числа представляются своими остатками от деления на выбранную систему взаимно простых оснований.

В позиционных СС величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её позиции. Мы чаще всего записываем и обрабатываем числа в десятичной СС, которая является позиционной, т.е. значение каждой цифры числа определяется её местом (позицией) в числе: 254 = 2*102 + 5*101 + 4*100. Количество используемых цифр называется основанием СС. Существуют системы счисления с различными основаниями.

Двоичная сс также, как и десятичная, является позиционной сс.

Достоинства и недостатки различных систем счисления, используемых при технической реализации цифровых устройств, могут быть выявлены, исходя из следующих практически важных требований:

  • возможность представления любого числа в заданном диапазоне;

  • единственность представления, когда любой числовой код соответствует только одному числу;

  • простота выполнения арифметических и логических операций над числами.

Главным преимуществом позиционных систем счисления по сравнению с непозиционными является удобство представления чисел и простота выполнения арифметических и логических операций.

Недостатком позиционных систем счисления является наличие межразрядных связей (переносов и заемов) при выполнении арифметических операций над числами, то есть невозможность выполнения арифметических операций как поразрядных (когда результат операции не зависит от ее результата в остальных разрядах).

Недостатками непозиционных систем счисления являются неудобство выполнения арифметических и логических операций и трудности при записи и восприятии больших чисел.

В системе остаточных классов все операции могут выполняться параллельно над цифрами каждого разряда в отдельности. Однако ей присущ и ряд недостатков: ограниченность действия этой системы полем целых положительных чисел, трудность определения соотношения чисел по величине, определения выхода результата операции из диапазона, отсутствие наглядной связи между числом и его представлением, не позволяющее оценить величину числа без перевода его в позиционную систему счисления, трудность выполнения операций деления и округления и др.

Несмотря на то, что в практике ручных вычислительных работ наибольшее распространение получила десятичная позиционная система счисления, она не является удобной для использования в цифровых устройствах, в частности в электронных вычислительных машинах (ЭВМ). Это связано, прежде всего, с трудностью технической реализации десяти различных уровней сигналов при одновременном обеспечении высокой помехоустойчивости.

Минимальное количество цифр, которое может быть принято в позиционной системе счисления, равно двум (0 и 1). Именно двоичная система счисления и нашла самое широкое применение в цифровых устройствах и ЭВМ в силу следующих очевидных преимуществ:

  • простота технической реализации двух сигналов, кодирующих числа 0 и 1, которые в большинстве случаев отличаются друг от друга не столько количественно, сколько качественно;

  • обеспечиваются высокие помехоустойчивость, надежность и быстродействие;

  • легко выполняются арифметические и логические операции, что значительно упрощает схемотехнику арифметических и логических узлов, а их анализ и синтез просто выполняется на основе аппарата булевой алгебры и теории конечных автоматов;

  • экономичность.

Эти преимущества полностью перекрывают такие недостатки двоичной (а также двоично-кодированной) системы счисления, как:

  • длинная запись числа;

  • необходимость преобразования входных и выходных данных из привычной человеку десятичной системы счисления в двоичную;

  • трудность чтения и восприятия чисел.

Сокращение длины записи двоичных чисел легко обеспечивается применением систем счисления с кратным основанием. Если для оснований систем счисления p1 и p2 справедливо соотношение p2 = p1k, где k – цeлое положительное число, то такие системы называются системами счисления с кратными основаниями. Примером таких систем являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (23 = 8; 24=16). Хорошее знание этих систем счисления является обязательным для каждого, кто решил серьезно заняться изучением цифровой техники. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления в основном используются как вспомогательные для сокращения трудоемкости ручной обработки кодов чисел, команд и т. п. при подготовке программ, чтобы избежать чтения и записи громоздких двоичных чисел.

Хотя перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно в ЭВМ осуществляется автоматически (аппаратно или программно), надо знать и ручные методы таких переводов. Наиболее распространены два метода перевода чисел из одной системы счисления в другую: табличный и расчетный.

При первом методе используются специальные таблицы соответствия чисел в различных системах счисления. Этот метод громоздкий, но применим как к позиционным, так и к непозиционным системам. Такие таблицы очень удобны на начальном этапе ознакомления с новой системой. Например, полезно запомнить четырехразрядные двоичные эквиваленты десятичных цифр (см. табл.1).

Таблица 1.

Десятичное число

Двоичное число

Восьмеричное число

Шестнадцатиричное число

0

0000

0

0

1

0001

1

1

2

0010

2

2

3

0011

3

3

4

0100

4

4

5

0101

5

5

6

0110

6

6

7

0111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

Расчетный метод универсальнее и удобнее, но применим он только к позиционным системам счисления. В практике встречаются три случая перевода: целых чисел, правильных дробей и неправильных дробей. Правильной дробью называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя, то есть число, меньшее единицы (например: 0,6; 3/7; 0,33...). Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель равен или больше знаменателя, то есть число большее или равное единицы (например: 3/3; 7/3; 1,23; 15,36).