Метод Гаусса

Решить систему уравнений:

Составим расширенную матрицу системы:

.

Разрешающим элементом а₁₁ удобно иметь единицу, поэтому переставим второе уравнение на место первого.

Получим нули в первом столбце, умножив первое уравнение последовательно на (– 2) и (– 3) и складывая со вторым и третьим.

~ ~ .

С помощью второго элемента второй строки сделаем нуль во втором столбце третьей строки, для чего умножим вторую строку на (– 2) и сложим с третьей.

~ ~ .

Таким образом, свели матрицу к треугольному виду. Запишем полученную систему уравнений:

Из последнего уравнения сразу находим значения z = 3, подставляя которое во второе уравнение находим y = 11 – 3z = 11 – 9 = 2. Затем из первого уравнения найдем x = 6 – y – z = 6 – 2 – 3 = 1. Поэтому x = 1, y = 2, z = 3.

Задача 2

Даны вершины треугольника ABC: A(– 2, 5), B(10, – 4), C(8, 10). Требуется найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и AC в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол A в радианах; 4) уравнение медианы AD; 5) уравнение высоты CE и ее длину; 6) уравнение окружности, для которой высота CE есть диаметр и точки пересечения этой окружности со стороной AC.

Решение.

1. Расстояние d между точками A(х₁; y₁) и B(х₂; y₂) вычисляем по формуле:

d = (1)

Применяя (1), находим длину стороны AB:

d_AB = = = 15.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(х₁; y₁) и B(х₂; y₂), имеет вид:

. (2)

Подставив в (2) соответствующие координаты точек A и B находим уравнение прямой (AB):

= ; = ;

= ; 4y – 20 = – 3x – 6; 3x + 4y – 14 = 0 (AB).

Чтобы найти угловой коэффициент прямой AB (k_AB), решим полученное уравнение прямой относительно y:

4y = 3x + 14, откуда

Подставляя в (2) координаты точек A и C, находим уравнения прямой (AC):

откуда

3. Если даны две прямые, угловые коэффициенты которых соответственно равны k₁ и k₂, то угол φ между этими прямыми определяется по формуле:

. (3)

Искомый угол A образован прямыми AB и AC, угловые коэффициенты которых найдены ранее в пункте 2. Для определения угла A положим и . Применяя (3), получим:

откуда .

Используя таблицу перевода градусной меры в радианную, получим A = 1,107 рад.

4. Если AD есть медиана, то точка D является серединой стороны BC. Для вычисления координат точки D применяем формулы деления отрезка на две равные части:

(4)

Подставив в (4) координаты точек B и C, находим координаты точки D:

D(9; 3).

Подставив в (2) координаты точек A(– 2; 5) и D(9; 3), находим искомое уравнение медианы AD:

2x + 11y – 51 = 0 (AD).

5. Высота CE перпендикулярна стороне AB. Известно, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, . Так как то

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, имеет вид:

(5)

Подставив в (5) координаты точки C и найденный угловой коэффициент , получим искомое уравнение высоты CE:

Чтобы найти длину CE, определим сперва координаты точки E – точки пересечения высоты CE и прямой AB. Для этого решаем совместно систему уравнений (AB) и (CE):

Решение этой системы дает x = 2 и y = 2. Следовательно, E(2; 2). Длину высоты CE определяем как расстояние между двумя точками по формуле (1).

d_CE = = 10.

6. Уравнение окружности с центром в точке K(a; b) и радиусом R имеет вид:

(x – a)² + (y – b)² = R². (6)

По условию, высота CE служит диаметром искомой окружности. Следовательно, центр окружности K является серединой отрезка CE. Используя (4), находим координаты точки K.

K(5; 6).

Так как d_CE = 10, то радиус окружности R = 5. Следовательно, (x – 5)² + (y – 6)² = 25 – уравнение искомой окружности. Чтобы найти точки пересечения этой окружности с прямой AC, решаем совместную систему уравнений:

Решив эту систему, получим две точки пересечения C(8; 10) и М(0; 6). Треугольник ABC, медиана AD, высота CE, окружность с центром в точке K и точки ее пересечения со стороной AC построены в системе координат xOy на рис. 1.

Рисунок 1