МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики

Ен. Ф. 01 математика Методические указания и варианты заданий к контрольной работе № 1

Специальности: 250201 Лесное хозяйство

280402 Природоохранное обустройство территорий

Уфа 2009

УДК 51(07)

ББК 22.1я73,22.161.6

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета лесного хозяйства (протокол № 6 от 24.04.2009 года)

Составители: доцент, к.соц.н. Саитова Р.З.

доцент, к.физ.-мат.н. Маннанов М.М.

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики

доцент, к.физ.-мат.н. Лукманов Р.Л.

Введение

Целью настоящих методических указаний является помощь студентам в освоении и закреплении следующих разделов математики: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия.

Расчетно-графическая работа № 1 состоит из 5 заданий. В каждом задании 30 вариантов. Номер варианта студент выбирает по формуле: № = a · b + c, где a – номер задания, b и с – предпоследняя и последняя цифры шифра (номера зачетной книжки или студенческого билета).

Например, номер студенческого билета (зачетки) студента 1265. Тогда в первом задании этот студент выполняет вариант: № = 1 · 6 + 5 = 11. Во втором задании: № = 2 · 6 + 5 = 17 и т.д. Если получается вариант больше 30, то нужно вычитать 30. Например, для этого же студента третье задание будет высчитываться: 5 · 6 + 5 = 35. Следовательно, этот студент решает 35 – 30 = 5 – пятый вариант третьего задания.

Прежде чем приступать к выполнению работы, целесообразно изучить соответствующие разделы в учебниках, рекомендованных в библиографическом списке.

Примеры решения задач Задача 1

1-й способ решения

Пусть требуется, используя формулы Крамера, решить систему

Подсчитаем сначала главный определитель системы ∆, воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:

= а₁₁ · – а₁₂ · + а₁₃ · .

У нас ∆ = = 1 ∙ (1 – 12) + 2 ∙ (2 – 9) + 1 ∙ (8 – 3) = – 20.

Так как ∆ ≠ 0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители ∆x, ∆y, ∆z:

∆x = = 4 · (1 – 12) – (– 2) · (5 + 6) + 1 · (20 + 2) = 0,

∆y = = 1 · (5 + 6) – 4 · (2 – 9) + 1 · (– 4 – 15) = 20,

∆z = = 1 · (– 2 – 20) – (– 2) · (– 4 – 15) + 4 · (8 – 3) = – 40.

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим

x = = 0, y = = – 1, z = = 2.

Всем трем равенствам они удовлетворяют, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения: x = 0; y = – 1; z = 2.

2-й способ решения

Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных x, y, z и Н – матрицу-столбец свободных членов:

А = , Х = , Н = .

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

А · Х = Н. (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель ∆ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А^–1. Умножив обе части уравнения (1) на А^–1 слева, получим:

А^–1 · А · Х = А^–1 · Н.

Но А^–1 · А = Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

Х = А^–1 · Н. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^–1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

А = . Тогда А^–1 = ,

где А_ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (– 1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки j-го столбца в определителе матрицы А, т.е. A_ij = (– 1)^i+j · M_ij.

Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения А_ij элементов матрицы А.

∆ = = 10 ≠ 0, следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А^–1.

А₁₁ = (– 1)¹⁺¹ ∙ = 5, А₂₁ = (– 1)²⁺¹ ∙ = 3,

А₁₂ = (– 1)¹⁺² ∙ = – 5, А₂₂ = (– 1)²⁺² ∙ = 1,

А₁₃ = (– 1)¹⁺³ ∙ = – 5, А₂₃ = (– 1)²⁺³ ∙ = – 1,

А₃₁ = (– 1)³⁺¹ ∙ = – 1, А₃₂ = (– 1)³⁺² ∙ = 3,

А₃₃ = (– 1)³⁺³ ∙ = 7.

Тогда А^–1 = = .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х = А^–1 · Н = · · = = · = · = .

Отсюда x = 3, y = 0, z = – 2.

3-й способ решения