ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ / s2lla2

.tex

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

12.81 Кб

Скачать

☆

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.2. {ЋЎйҐҐ га ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ, ҐЈ®
Ёбб«Ґ¤®ў ЁҐ. “а ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ, Їа®е®¤пйҐ© зҐаҐ§ § ¤ го в®зЄг
ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«па® § ¤ ®¬г ўҐЄв®аг. “а ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ, Їа®е®¤пйҐ©
зҐаҐ§ ваЁ § ¤ лҐ в®зЄЁ. “Ј®« ¬Ґ¦¤г Ї«®бЄ®бвп¬Ё. ђ ббв®пЁҐ ®в
в®зЄЁ ¤® Ї«®бЄ®бвЁ.}

Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ў Їа®бва бвўҐ $\RR^3$ ўлЎа бв ¤ авл© Ў §Ёб
Ё $(x,y,z)$ б Ё¤ҐЄб ¬Ё Ё«Ё ЎҐ§ Ёе ®§ з Ґв Є®®а¤Ё вго § ЇЁбм
ўҐЄв®а®ў ў нв®¬ Їа®бва бвўҐ. Џ® «®ЈЁЁ б Ї®пвЁҐ¬ «ЁЁЁ
Ї«®бЄ®бвЁ а бб¬ ваЁў Ґвбп Ї®пвЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва бвўҐ.
’ Є¦Ґ Є Є Ё ¤«п «ЁЁ©, Ї®ўҐае®бвм ¬®¦Ґв § ¤ ў вмбп 1) га ўҐЁҐ¬
Ё 2) Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ. ђ бб¬®ваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал Ї®ўҐае®бвҐ©, § ¤ ле
га ўҐЁҐ¬.

1. $F(x,y)=x+y+z$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©бвўЁвҐ«м®§ з п дгЄжЁп,
$x+y+z=0$ -- га ўҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ (в®зҐҐ -- Ї«®бЄ®бвЁ) ў
Їа®бва бвўҐ. ќв Ї«®бЄ®бвм Їа®е®¤Ёв зҐаҐ§ з «® Є®®а¤Ё в,
ЇҐаҐбҐЄ Ґв Є®®а¤Ё вго Ї«®бЄ®бвм $Oxy$ Ї® Їап¬®© $x+y=0$,
Є®®а¤Ё вго Ї«®бЄ®бвм $Oxz$ -- Ї® Їап¬®© $x+z=0$. Њ®¦® ЇаЁўҐбвЁ
Ё ¤агЈЁҐ ҐҐ бў®©бвў .

2. $F(x,y)=x^2+y^2+z^2$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©бвўЁвҐ«м®§ з п
дгЄжЁп, $x^2+y^2+z^2=0$ -- га ўҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва бвўҐ;
Ґ¤ЁбвўҐ п г¤®ў«Ґвў®апой п Ґ¬г в®зЄ -- з «® Є®®а¤Ё в
$(x,y,z)=(0,0,0)$, -- Ї®ўҐае®бвм ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ бҐЎп нвг в®зЄг.
„ ®Ґ га ўҐЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐв ўла®¦¤Ґго Ї®ўҐае®бвм.

3. $F(x,y)=x^2+y^2+z^2-1$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©бвўЁвҐ«м®§ з п
дгЄжЁп, $x^2+y^2+z^2-1=0$ -- га ўҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва бвўҐ
(бдҐал а ¤Ёгб 1). „ п Ї®ўҐае®бвм б®бв®Ёв Ё§ в®зҐЄ, г¤ «Ґле
®в з « Є®®а¤Ё в а ббв®пЁҐ 1.

4. џў«пҐвбп ®Ў®ЎйҐЁҐ¬ ЇаҐ¤л¤гйЁе ¤ўге ЇаЁ¬Ґа®ў. ”ЁЄбЁагҐ¬
Є Є®Ґ-ЁЎг¤м Ґ®ваЁж вҐ«м®Ґ зЁб«® $r$. $F(x,y)=x^2+y^2+z^2-r^2$,
$U=\RR^3$, -- ¤Ґ©бвўЁвҐ«м®§ з п дгЄжЁп, $x^2+y^2+z^2-r^2=0$ --
га ўҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва бвўҐ (бдҐал а ¤Ёгб r). „ п
Ї®ўҐае®бвм б®бв®Ёв Ё§ в®зҐЄ, г¤ «Ґле ®в з « Є®®а¤Ё в
а ббв®пЁҐ r.

5. $F(x,y)=x^2+y^2+z^2+1$, $U=\RR^3$, -- ¤Ґ©бвўЁвҐ«м®§ з п
дгЄжЁп, $x^2+y^2+z^2+1=0$ -- га ўҐЁҐ ў Їа®бва бвўҐ. ќв®¬г
га ўҐЁо Ґ г¤®ў«Ґвў®апҐв Ё ®¤ в®зЄ , ®® Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐв
Ї®ўҐае®бвЁ.

6. Љ Є Ё ¤«п «ЁЁ©, ўла ¦ҐЁп ўЁ¤
$(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2-2(xy+xz+yz)\equiv 0$ пў«повбп в®¦¤Ґбвў ¬Ё,
Ґ пў«повбп га ўҐЁп¬Ё Ё Ґ § ¤ ов Ї®ўҐае®бвЁ.

7. ‘ Є ¦¤®© «ЁЁҐ© $L$ Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$, § ¤ ®© га ўҐЁҐ¬
$F(x,y)=0$, $F:U\to\RR$, $U\subset\RR^2$, бўп§ в Є §лў Ґ¬ п
жЁ«Ё¤аЁзҐбЄ п Ї®ўҐае®бвм Ё«Ё жЁ«Ё¤а ¤ $L$. ќв Ї®ўҐае®бвм
б®бв®Ёв Ё§ ўбҐў®§¬®¦ле Їап¬ле ў Їа®бва бвўҐ, Їа®е®¤пйЁе зҐаҐ§
в®зЄЁ $L$ Ї а ««Ґ«м® ®бЁ $Oz$.

Џгбвм $F:U\to\RR$ -- ҐЄ®в®а п
¤Ґ©бвўЁвҐ«м®§ з п дгЄжЁп, § ¤ п Ї®¤¬®¦ҐбвўҐ
$U\subset\RR^3$ в®зҐЄ $(x,y,z)\in U$. ‘®®в®иҐЁҐ $F(x,y,z)=0$
§лў Ґвбп га ўҐЁҐ¬ $U$. Ѓг¤Ґ¬ ЇаҐ¤Ї®« Ј вм, зв® вҐ Ї ал
$(x,y,z)\in U$, Є®в®алҐ Ґ¬г г¤®ў«Ґвў®апов, Ґ § Ї®«пов жҐ«л©
"Єгб®Є Їа®бва бвў ". Џ®ўҐае®бвмо, § ¤ ў Ґ¬®© дгЄжЁҐ© $F$ (Ё«Ё
га ўҐЁҐ¬ $F=0$), §лў ов б®ў®ЄгЇ®бвм $$\{(x,y,z)\in U\ |\
F(x,y,z)=0\}.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ Ї®ўҐае®бвм ў Їа®бва бвўҐ -- нв®
ҐЄ®в®ал© Ў®а в®зҐЄ Їа®бва бвў .

ЏаЁ ®Ўбг¦¤ҐЁЁ в®Ј® Є Є § ¤ овбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ
ЁбЇ®«м§гҐвбп Ї®пвЁҐ ®Ў« бвЁ $\cal V$ Ї«®бЄ®бвЁ. Ћ® Ё¬ҐҐв
ўЇ®«Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґл© ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁ© б¬лб«, ®¤ Є® ¤ л© ¬®¬Ґв
¤ ў вм ҐЈ® Ґ Ўг¤Ґ¬. Џ®¤ ®Ў« бвмо Ўг¤Ґ¬ Ї®Ё¬ вм "Єгб®Є Ё«Ё
ҐбЄ®«мЄ® ЄгбЄ®ў Ї«®бЄ®бвЁ". ЏаЁ¬Ґа ¬Ё ®Ў« бвҐ© пў«повбп ЄагЈ,
Єў ¤а в Ї«®бЄ®бвЁ, ®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ ЄагЈ Ё Єў ¤а в , ўбп Ї«®бЄ®бвм,
Ї®«гЇ«®бЄ®бвм. ‚ в®¦Ґ ўаҐ¬п «ЁЁп Ї«®бЄ®бвЁ ®Ў« бвмо Ґ
пў«пҐвбп. Џгбвм $\alpha,\beta,\gamma:{\cal V}\to\RR$ -- ваЁ
¤Ґ©бвўЁвҐ«м®§ злҐ дгЄжЁЁ, § ¤ лҐ ®Ў« бвЁ ${\cal
V}\subset\RR^2$. ѓ®ў®апв, зв® бЁбвҐ¬
\begin{equation*}
\begin{cases}
x=\alpha(u,v),\\
y=\beta(u,v),\\
z=\gamma(u,v)
\end{cases}
\qquad (u,v)\in {\cal V},\end{equation*} § ¤ Ґв Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ
ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ ў Їа®бва бвўҐ. ќв® § ¤ ЁҐ Їа®Ёбе®¤Ёв
б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬: Ї®ўҐае®бвмо бзЁв Ґвбп б®ў®ЄгЇ®бвм в®зҐЄ
$$\{(\alpha(u,v),\beta(u,v),\gamma(u,v))\in\RR^3\ |\ (u,v)\in
{\cal V}\}$$ Їа®бва бвў .

\noindent {\it ЏаЁ¬Ґал § ¤ ў Ґ¬ле Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ Ї®ўҐае®бвҐ©.}

8. “а ўҐЁп $x=u$, $y=v$, $z=-u-v$, $(u,v)\in\RR^2$, § ¤ ов
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ $x+y+z=0$ Ё§ ЇаЁ¬Ґа 1.

9. ЌҐбЄ®«мЄ® Ў®«ҐҐ б«®¦л¬ пў«пҐвбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ
бдҐал а ¤Ёгб $r>0$ Ё§ ЇаЁ¬Ґа 4. “а ўҐЁп
\begin{equation*}
\begin{cases}
x=r\cos u\cos v,\\
y=r\sin u\cos v,\\
z=r\sin v
\end{cases}
\qquad (u,v)\in {\cal V},\end{equation*} пў«повбп ЇаЁ¬Ґа®¬ в Є®Ј®
§ ¤ Ёп. ЏаЁ нв®¬ ${\cal V}=[0,2\pi]\times[0,\pi]$ --
Їап¬®гЈ®«мЁЄ Ї«®бЄ®бвЁ б® бв®а® ¬Ё ¤«Ёл $2\pi$ Ё $\pi$.

\noindent {\it Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ.}

Љ Є Ё ¤«п «ЁЁ© Ї«®бЄ®бвЁ ў ¦л¬ Є« бб®¬ Ї®ўҐае®бвҐ© пў«повбп
Ї®ўҐае®бвЁ, § ¤ ў Ґ¬лҐ «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁ¬Ё га ўҐЁп¬Ё. ќв® га ўҐЁп
б«Ґ¤гойЁе ўЁ¤®ў: $$Ax+By+Cz+D=0,\eqno(1)$$
$$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 \eqno(2)$$ Ё в.¤. ‚ нвЁе
га ўҐЁпе $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ -- ҐЄ®в®алҐ дЁЄбЁа®ў лҐ зЁб« ;
®Ё §лў овбп Є®нддЁжЁҐв ¬Ё гЄ § ле га ўҐЁ©. “а ўҐЁҐ (1)
§лў Ґвбп ®ЎйЁ¬ га ўҐЁҐ¬ 1-© бвҐЇҐЁ, Ґб«Ё ў Ґ¬
$A^2+B^2+C^2\ne 0$. “а ўҐЁҐ (2) §лў Ґвбп ®ЎйЁ¬ га ўҐЁҐ¬ 2-©
бвҐЇҐЁ, Ґб«Ё ў Ґ¬ $A^2+B^2+C^2+D^2+E^2+F^2\ne 0$.

\noindent {\it Џ«®бЄ®бвм ў Їа®бва бвўҐ.}

Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ Ї®ўҐае®бвЁ 1-© бвҐЇҐЁ §лў ов Ї«®бЄ®бвп¬Ё ў
Їа®бва бвўҐ. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, га ўҐЁҐ¬, § ¤ ойЁ¬ Ї«®бЄ®бвм ў
Їа®бва бвўҐ, пў«пҐвбп га ўҐЁҐ $Ax+By+Cz+D=0$, $A$, $B$, $C$ Ё
$D$ -- дЁЄбЁа®ў лҐ зЁб« , $A^2+B^2+C^2\ne 0$. Џа®Ё§ў®¤п
в®¦¤ҐбвўҐлҐ ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп а ўҐбвў $Ax+By+Cz+D=0$, Ї®«гз ов
а §«ЁзлҐ д®а¬л га ўҐЁп, § ¤ ойҐЈ® нвг Ї«®бЄ®бвм.

Љ Є Ё ¤«п б«гз п «ЁЁЁ Ї«®бЄ®бвЁ ®¤Ё¬ Ё§ в ЄЁе ЇаҐ®Ўа §®ў Ё©
пў«пҐвбп г¬®¦ҐЁҐ Є®нддЁжЁҐв®ў $A$, $B$, $C$ Ё $D$ ®¤® Ё
в®¦Ґ зЁб«® $a\ne 0$: га ўҐЁп $$Ax+By+Cz+D=0\quad{\rm Ё}\quad
(aA)x+(aB)y+(aC)z+(aD)=0$$ ®ЇаҐ¤Ґ«пов ®¤г Ё вг ¦Ґ Ї«®бЄ®бвм.
Љ®а®вЄ® ®Ў®§ зЁ¬ ў®§¬®¦лҐ аҐ§г«мв вл в ЄЁе ЇаҐ®Ўа §®ў Ё©.
Љ®нддЁжЁҐвл $A$, $B$ Ё $C$ Ґ ¤®«¦л ®¤®ўаҐ¬Ґ® ®Ўа й вмбп ў
®«м. …б«Ё $C\ne 0$, в®, ўлЎа ў $a=1/C$, Ї®«гзЁ¬ га ўҐЁҐ
Ї«®бЄ®бвЁ $z+(A/C)x+(B/C)y+(D/C)=0$. €§ ҐЈ® ўЁ¤®, зв® Ёбе®¤ п
Ї®ўҐае®бвм ¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ Є Є Ја дЁЄ дгЄжЁЁ
$z=f(x,y)=-(A/C)x-(B/C)y-(D/C)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґле $(x,y)\in\RR^2$.
…б«Ё ¦Ґ $C=0$, в® в Є®Ј® ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп ўлЇ®«Ёвм Ґў®§¬®¦®,
Ёбе®¤ п Ї«®бЄ®бвм § ¤ Ґвбп га ўҐЁҐ¬ $Ax+By+D=0$ Ё пў«пҐвбп
жЁ«Ё¤а®¬ ¤ Їап¬®© $Ax+By+D=0$ ў Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$. Џ®пв®, зв®
в Є®© жЁ«Ё¤а Ґ«м§п § ¤ вм Є Є Ја дЁЄ ҐЄ®в®а®© дгЄжЁЁ
$z=f(x,y)$ ЇҐаҐ¬Ґле $(x,y)\in\RR^2$. Ћ¤ Є® ҐҐ ¬®¦® § ¤ вм Є Є
Ја дЁЄ дгЄжЁЁ ¤агЈЁе ЇҐаҐ¬Ґле. Ђ Ё¬Ґ®, Їгбвм $B\ne 0$,
$a=1/B$. ’®Ј¤ Ёбе®¤®Ґ га ўҐЁҐ ЇаҐ®Ўа §гҐвбп Є ўЁ¤г
$y+(A/B)x+(D/B)=0$ Ё Ї«®бЄ®бвм ¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ Є Є Ја дЁЄ
дгЄжЁЁ $y=f(x,z)=-(A/B)x-(D/B)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґле $(x,z)\in\RR^2$.
…б«Ё ¦Ґ Ї®¬Ё¬® $C=0$ в Є¦Ґ Ё $B=0$, в® Ёбе®¤ п Ї«®бЄ®бвм пў«пҐвбп
жЁ«Ё¤а®¬ Є Є ¤ Їап¬®© ў Ї«®бЄ®бвЁ $Oxy$, в Є Ё жЁ«Ё¤а®¬ ¤
Їап¬®© ў Ї«®бЄ®бвЁ $Oxz$. Џ®нв®¬г ҐҐ Ґ«м§п в Є¦Ґ § ¤ вм Є Є
Ја дЁЄ ҐЄ®в®а®© дгЄжЁЁ $y=f(x,z)$ ЇҐаҐ¬Ґле $(x,z)\in\RR^2$. Ќ®
ў нв®¬ б«гз Ґ ®Ўп§ вҐ«м® $A\ne 0$ Ё ¬®¦® ўлЎа вм $a=1/A$.
Џ®«гз ойҐҐбп га ўҐЁҐ $x+(D/A)=0$ § ¤ Ґв Ї«®бЄ®бвм, пў«пойгобп
Ја дЁЄ®¬ дгЄжЁЁ $x=f(y,z)=-(D/A)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґле $(y,z)\in\RR^2$.
Ђ «®ЈЁзлҐ ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп Ё Ёе ЁвҐаЇаҐв жЁп бўп§ л б
ЇҐаў® з «мл¬ а бб¬®ваҐЁҐ¬ Є®нддЁжЁҐв®ў $B$ Ё«Ё $A$.

Џгбвм $(x_1,y_1,z_1)$ -- в®зЄ , «Ґ¦ й п Ї«®бЄ®бвЁ
$Ax+By+Cz+D=0$: $$Ax_1+By_1+Cz_1+D=0.$$ ’®Ј¤ га ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ
¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ® ў ўЁ¤Ґ
$$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0.\eqno(3)$$ ‚ вҐа¬Ё е бЄ «па®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп Ї®б«Ґ¤ҐҐ а ўҐбвў® ¬®¦® ЇҐаҐЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ
$$((A,B,C), (x-x_1,y-y_1,z-z_1))=0,$$ в.Ґ. ўҐЄв®а
$(x-x_1,y-y_1,z-z_1)$ ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«паҐ ўҐЄв®аг $(A,B,C)$. ‡ ЇЁбм
га ўҐЁп Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва бвўҐ ўЁ¤ (3) Ё¬ҐҐв, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
б«Ґ¤гойЁ© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб«: нв® Ї«®бЄ®бвм, Їа®е®¤пй п зҐаҐ§
в®зЄг $(x_1,y_1,z_1)$ ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«па® ўҐЄв®аг $(A,B,C)$. ‚ҐЄв®а
$(A,B,C)$ Ё¬ҐҐв бЇҐжЁ «м®Ґ §ў ЁҐ --- ®а¬ «Ё Є Ї«®бЄ®бвЁ.
Џ®пв®, зв® ўбҐ ®а¬ «Ё Їа®Ї®ажЁ® «мл ¬Ґ¦¤г б®Ў®© -- «Ґ¦ в
®¤®© Їап¬®©.

‚лЇЁиҐ¬ га ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ ў Їа®бва бвўҐ, Їа®е®¤пйҐ© зҐаҐ§ ваЁ
дЁЄбЁа®ў лҐ в®зЄЁ $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ Ё
$(x_3,y_3,z_3)$, Ґ «Ґ¦ йЁҐ ®¤®© Їап¬®©. Џгбвм $(x,y,z)$ --
Їа®Ё§ў®«м п в®зЄ нв®© Ї«®бЄ®бвЁ. ‘®Ј« б® § ЇЁбЁ (3), ўҐЄв®а
$(x-x_1,y-y_1,z-z_1)$, $(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ Ё
$(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$ ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«пал ®¤®¬г Ё в®¬г ¦Ґ
(ҐЁ§ўҐбв®¬г) Ґг«Ґў®¬г ўҐЄв®аг Є®нддЁжЁҐв®ў $(A,B,C)$. Џ®нв®¬г
нвЁ 3 ўҐЄв®а Ґ ¬®Јгв Ўлвм «ЁҐ©® Ґ§ ўЁбЁ¬л¬Ё (Ґб«Ё Ўл ®Ё
®Є § «Ёбм «ЁҐ©® Ґ§ ўЁбЁ¬л¬Ё, в® ў $\RR^3$ и«Ёбм Ўл 4 «ЁҐ©®
Ґ§ ўЁбЁ¬ле ўҐЄв®а ). Џ®нв®¬г Ї® вҐ®аҐ¬Ґ Ља®ҐЄҐа -Љ ЇҐ««Ё
$$\begin{vmatrix} x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1&
z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{vmatrix}=0.\eqno(4)$$
ЌҐваг¤® гўЁ¤Ґвм, зв® нв® Ё Ґбвм ЁбЄ®¬®Ґ га ўҐЁҐ: ®® Ё¬ҐҐв ўЁ¤
(1) Ё «оЎ п Ё§ ваҐе в®зҐЄ $(x_i,y_i,z_i)$, $i=1,2,3$, Ґ¬г
г¤®ў«Ґвў®апҐв. “б«®ўЁҐ -- ваЁ в®зЄЁ Ґ «Ґ¦ в ®¤®© Їап¬®©,
ЁбЇ®«м§гҐвбп §¤Ґбм, зв®Ўл ®Ў®б®ў вм в®в д Єв, зв® е®вп Ўл ®¤Ё Ё§
Є®нддЁжЁҐв®ў $A$, $B$ Ё«Ё $C$ га ўҐЁп (1) Ґ а ўҐ 0 (¤«п нв®Ј®
ҐйҐ а § ЁбЇ®«м§гҐвбп вҐ®аҐ¬ Ља®ҐЄҐа -Љ ЇҐ««Ё).

“а ўҐЁҐ (4) Ї®§ў®«пҐв § ¤ вм Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ
Ї«®бЄ®бвЁ. ‚ўҐ¤Ґ¬ ®Ў®§ зҐЁп
$\bar{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\ne \bar{0}$,
$\bar{v}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)\ne \bar{0}$,
$\bar{w}=(x_1,y_1,z_1)$. ’®Ј¤ , б®Ј« б® (4), Ї«®бЄ®бвм -- нв®
¬®¦Ґбвў® $$\{s\bar{u}+t\bar{v}+\bar{w}\ |\ s,t\in\RR\}\eqno(5)$$
«ЁҐ©ле Є®¬ЎЁ жЁ© ўҐЄв®а®ў $\bar{u}$, $\bar{v}$, ®в«®¦Ґле ®в
в®зЄЁ $\bar{w}$.

Џ® «®ЈЁЁ б Їап¬л¬Ё Ї«®бЄ®бвЁ, гЈ«®¬ ( в®зҐҐ Ї а®© гЈ«®ў)
¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п Ї«®бЄ®бвп¬Ё, § ¤ л¬Ё га ўҐЁп¬Ё ўЁ¤ (1), §лў ов
Ї аг гЈ«®ў, Є®в®аго ®Ўа §гов ¬Ґ¦¤г б®Ў®© ўбҐў®§¬®¦лҐ ®а¬ «Ё нвЁе
Ї«®бЄ®бвҐ©. €®Ј¤ гЈ«®¬ ¬Ґ¦¤г Ї«®бЄ®бвп¬Ё бзЁв ов ¬ҐмиЁ© Ё§ нвЁе
¤ўге гЈ«®ў.

‡ дЁЄбЁагҐ¬ Є Єго-ЁЎг¤м в®зЄг $\bar{p}$ ў Їа®бва бвўҐ $\RR^3$.
Ќ §®ўҐ¬ а ббв®пЁҐ¬ ®в $\bar{p}$ ¤® Ї«®бЄ®бвЁ (5) § зҐЁҐ § ¤ зЁ
¬ЁЁ¬Ё§ жЁЁ $$\min_{s,t\in\RR}\
|\bar{p}-s\bar{u}-t\bar{v}-\bar{w}|.$$ Љ Є Ё ў Ї«®бЄ®¬ б«гз Ґ
§ ЇЁиҐ¬ нвг § ¤ зг ў «ЁвЁзҐбЄ®© д®а¬Ґ: ваҐЎгҐвбп ©вЁ ¬ЁЁ¬г¬
Ї® ЇҐаҐ¬Ґл¬ $s,t$ дгЄжЁЁ $$f(s,t)=
(\bar{p}-s\bar{u}-t\bar{v}-\bar{w},
\bar{p}-s\bar{u}-t\bar{v}-\bar{w})=$$
$$=(\bar{p}-\bar{w},\bar{p}-\bar{w})-2s(\bar{p}-\bar{w},
\bar{u})+s^2(\bar{u},\bar{u})-2t(\bar{p}-\bar{w},
\bar{v})+t^2(\bar{v},\bar{v})+2st(\bar{u},\bar{v}).\eqno(6)$$
Џ®б«Ґ ўлзЁб«ҐЁп Ё§ аҐ§г«мв в г¦® Ё§ў«Ґзм Єў ¤а вл© Є®аҐм.
—в®Ўл Ґ гб«®¦пвм а бб¬®ваҐЁп, ў®бЇ®«м§гҐ¬бп аҐ§г«мв в ¬Ё, ®
Є®в®але ҐйҐ Ґ Ўл«® аҐзЁ Ё § Є®¬бвў® б Є®в®ал¬Ё Їа®Ёбе®¤Ёв ЇаЁ
Ё§гзҐЁЁ дгЄжЁ© ҐбЄ®«мЄЁе ЇҐаҐ¬Ґле. Џ® «®ЈЁЁ б § ¤ зҐ©
¬ЁЁ¬Ё§ жЁҐ© дгЄжЁЁ ®¤®Ј® ЇҐаҐ¬Ґ®Ј®, ў (6) Ё¬ҐҐвбп в®зЄ
¬ЁЁ¬г¬ $(s_0,t_0)$ Ё ® ®¤®ўаҐ¬Ґ® пў«пҐвбп в®зЄ®© ¬ЁЁ¬г¬
Ї® ЇҐаҐ¬Ґ®© $s$ Ё Ї® ЇҐаҐ¬Ґ®© $t$ Ї® ®в¤Ґ«м®бвЁ. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬ $$-(\bar{p}-\bar{w}, \bar{v})+ t_0(\bar{v},\bar{v})+
s_0(\bar{u},\bar{v})=0,$$ $$-(\bar{p}-\bar{w}, \bar{u})+
s_0(\bar{u},\bar{u})+ t_0(\bar{u},\bar{v})=0.$$ €бЇ®«м§гп 2 нвЁе
а ўҐбвў ЇҐаҐЇЁиҐ¬ (6) ў ўЁ¤Ґ $$f(s_0,t_0)=
(\bar{p}-\bar{w},\bar{p}-\bar{w})-s_0(\bar{p}-\bar{w},
\bar{u})-t_0(\bar{p}-\bar{w}, \bar{v}).$$ €бЄ«озЁ¬ ҐЁ§ўҐбвго
$t_0$: $$t_0=(\bar{p}-\bar{w}, \bar{v})/ (\bar{v},\bar{v})-
s_0(\bar{u},\bar{v})/(\bar{v},\bar{v}),$$
$$-\Bigl((\bar{p}-\bar{w}, \bar{u})-(\bar{p}-\bar{w},
\bar{v})(\bar{u},\bar{v})/ (\bar{v},\bar{v})\Bigr)+
s_0\Bigl((\bar{u},\bar{u})-
(\bar{u},\bar{v})^2/(\bar{v},\bar{v})\Bigr)=0,$$ $$f(s_0,t_0)=
\Bigl((\bar{p}-\bar{w},\bar{p}-\bar{w})-(\bar{p}-\bar{w},
\bar{v})^2/(\bar{v},\bar{v})\Bigr)- s_0\Bigl((\bar{p}-\bar{w},
\bar{u})-(\bar{p}-\bar{w}, \bar{v})(\bar{u},\bar{v})/
(\bar{v},\bar{v})\Bigr).$$ Љ®нддЁжЁҐв $((\bar{u},\bar{u})-
(\bar{u},\bar{v})^2/(\bar{v},\bar{v}))$ ЇаЁ ҐЁ§ўҐбв®© $s_0$
бва®Ј® Ў®«миҐ г«п ў бЁ«г Ґа ўҐбвў Љ®иЁ-ЃгпЄ®ўбЄ®Ј® Ё «ЁҐ©®©
Ґ§ ўЁбЁ¬®бвЁ ўҐЄв®а®ў $\bar{u}$ Ё $\bar{v}$. Џ®нв®¬г $s_0$ ¬®¦®
ўлзЁб«Ёвм Ё Ї®¤бв ўЁвм ў ўла ¦ҐЁҐ ¤«п $f(s_0,t_0)$: $$
f(s_0,t_0)=\Bigl((\bar{p}-\bar{w},\bar{p}-\bar{w})-(\bar{p}-\bar{w},
\bar{v})^2/(\bar{v},\bar{v})\Bigr)- \frac{\Bigl((\bar{p}-\bar{w},
\bar{u})-(\bar{p}-\bar{w}, \bar{v})(\bar{u},\bar{v})/
(\bar{v},\bar{v})\Bigr)^2}{(\bar{u},\bar{u})-
(\bar{u},\bar{v})^2/(\bar{v},\bar{v})}.$$ …б«Ё Ї а ўҐЄв®а®ў
$\bar{u}$ Ё $\bar{v}$ пў«пҐвбп ®ав®®а¬Ёа®ў ®©:
$(\bar{u},\bar{u})=(\bar{v},\bar{v})=1$, $(\bar{u},\bar{v})=0$, в®
ўла ¦ҐЁҐ ¤«п $f(s_0,t_0)$ § ¬Ґв® гЇа®й Ґвбп: $$\sqrt{f(s_0,t_0)}
=\sqrt{(\bar{p}-\bar{w},\bar{p}-\bar{w})-(\bar{p}-\bar{w},
\bar{u})^2-(\bar{p}-\bar{w}, \bar{v})^2}.$$

Соседние файлы в папке ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ

#
01.05.2014830 б26ma.lat
#
01.05.201410.76 Кб34s2lla1.tex
#
01.05.201412.81 Кб22s2lla2.tex
#
01.05.20145.92 Кб22s2lla3.tex
#
01.05.201413.49 Кб22s2lla4.tex
#
01.05.20148.09 Кб21s2lla5.tex
#
01.05.20146.57 Кб21s2lla6.tex
#
01.05.20144.3 Кб21s2lla7.tex