ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ / s2lla7

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.7. {\it ЏаЁўҐ¤Ґ­ЁҐ га ў­Ґ­Ёп ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є  Є
Є ­®­ЁзҐбЄ®¬г ўЁ¤г. Љ« ббЁдЁЄ жЁп ЄаЁўле ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є  ­ 
Ї«®бЄ®бвЁ.}

Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ: {\it Џгбвм $L[B](\bar z)=B\bar z,\quad
\bar{z}\in\RR^n$, -- ¬ ваЁз­®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ «Ё­Ґ©­®Ј® ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп
$L[B]$ Їа®бва ­бвў  $\RR^n$, $n\in\NN$, ў ᥡп,
$q(\bar{z})=\bar{z}^\ast B\bar z$ -- Єў ¤а вЁз­ п д®а¬  ­ 
ўҐЄв®а е $\bar{z}$.

\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬  1}. ‚бпЄ п Єў ¤а вЁз­ п д®а¬  $q$ ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ¤ ­  ў ўЁ¤Ґ $q(\bar{z})=\bar{z}^\ast T\bar z$ б бЁ¬¬ҐваЁз­®©
¬ ваЁжҐ© $T$.\\ {\bf ’Ґ®аҐ¬  2}. „«п бЁ¬¬ҐваЁз­®© ¬ ваЁжл $T$
Ї®ап¤Є  $n$ Ё¬ҐҐвбп ­ Ў®а Ё§ $n$ Ї®Ї а­® ®ав®Ј®­ «м­ле б®Ўб⢥­­ле
ўҐЄв®а®ў б ўҐйҐб⢥­­л¬Ё е а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ¬Ё зЁб« ¬Ё.

Џа ўЁ«®, Ї® Є®в®а®¬г Ё§¬Ґ­пҐвбп Єў ¤а вЁз­ п д®а¬  $q$ ЇаЁ
«Ё­Ґ©­ле ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёпе $L[A]$ Їа®бва ­бвў  $\RR^n$ в Є®ў®: Ё¬ҐҐ¬
$\bar w=L[A](\bar z)$ Ё«Ё $$\bar w=A\bar z,\quad \bar z=A^{-1}\bar
w,$$ Ё, §­ зЁв, д®а¬  $q(\bar{z})=\bar{z}^\ast B\bar z$
ЇаҐ®Ўа §гҐвбп ў д®а¬г $q(\bar w)={\bar w}^\ast(A^{-1})^\ast
B(A^{-1}\bar w)$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ґб«Ё ў Є®®а¤Ё­ в е, бўп§ ­­ле б
$z$, д®а¬  $q$ ®ЇаҐ¤Ґ«п« бм ¬ ваЁжҐ© $B$, в® ў Є®®а¤Ё­ в е,
бўп§ ­­ле б $w$, ®­  Ўг¤Ґв ®ЇаҐ¤Ґ«пвмбп ¬ ваЁжҐ©
$(A^{-1})^\ast\cdot B\cdot A^{-1}$.}

Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® д®а¬  $q$ § ¤ ­  бЁ¬¬ҐваЁз­®© ¬ ваЁжҐ© $T$.
‘®Ј« б­® ⥮६Ґ 2 ¤«п ¬ ваЁжл $T$ Ё¬ҐҐвбп ­ Ў®а
$\{\bar{z}_i\}_{i=1}^n$ б®Ўб⢥­­ле ўҐЄв®а®ў $T$, ®Ўа §гойЁе
®ав®Ј®­ «м­го бЁб⥬г: $$(\bar{z}_i,\bar{z}_j)=\delta_i^j.\eqno
(1)$$

Џгбвм $\{z_{i,j}\}_{j=1}^n$ -- Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $\bar{z}_i$,
$i=1,\dots,n$. ‡ ¤ ¤Ё¬ Ї аг ¬ ваЁж $Z=(z_{i,j})$ Ё
$A=(a_{i,j})=(z_{j,i})=Z^\ast$. ’®Ј¤ 
$$A\bar{e}_k=(a_{1,k},a_{2,k},\dots,a_{n,k})^{\ast}=\bar{z}_k,$$
в. Ґ. $A\bar{e}_k=\bar{z}_k$. Ља®¬Ґ в®Ј®, $$A\cdot
Z=(z_i^\ast\cdot z_j)=(\bigl(z_i, z_j\bigr))=E,$$ в. Ґ. $A=Z^\ast$
Ё $Z$ ў§ Ё¬­® ®Ўа в­лҐ ¬ ваЁжл. Њ ваЁжл, ®Ў« ¤ ойЁҐ бў®©бвў®¬
$A^{-1}=A^\ast$, ­ §лў овбп ®ав®Ј®­ «м­л¬Ё. Љ ¦¤ п Ё§ ­Ёе Ї®
бў®Ґ¬г ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо Ё¬ҐҐв ®Ўа в­го $A^\ast$ Ё, §­ зЁв, § ¤ Ґв
«Ё­Ґ©­®Ґ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ $L[A]$ Їа®бва ­бвў  $\RR^n$. Љ Є Ўл«®
®в¬ҐзҐ­® ўлиҐ, ў १г«мв вҐ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© ¬ ваЁж  $T$
Єў ¤а вЁз­®© д®а¬л Ё§¬Ґ­пҐвбп Ї® Їа ўЁ«г $$T\to (A^{-1})^\ast\cdot
T\cdot A^{-1}.\eqno (2)$$ ЏаЁ н⮬ ¬ ваЁж  ®бв Ґвбп бЁ¬¬ҐваЁз­®©:
$$\left((A^{-1})^\ast\cdot T\cdot
A^{-1}\right)^\ast=(A^{-1})^\ast\cdot T^\ast\cdot
((A^{-1})^\ast)^\ast=(A^{-1})^\ast\cdot T\cdot A^{-1}.$$ …б«Ё
$A^{-1}=A^\ast$, в® (2) ЇаЁ¬Ґв ўЁ¤: $$T\to A\cdot T\cdot
A^\ast.\eqno (3)$$ ЏаҐ¦¤Ґ ¬л 㦥 ЇаЁў®¤Ё«Ё д®а¬г $q$ Є
¤Ё Ј®­ «м­®¬г ўЁ¤г Їг⥬ «Ё­Ґ©­®© § ¬Ґ­л ЇҐаҐ¬Ґ­­ле. Џа®ўҐаЁ¬, Є Є
ўлЈ«п¤Ёв нв  д®а¬  ў Ў §ЁбҐ $\{\bar{z}_i\}_{i=1}^n$, в.Ґ. Ї®б«Ґ
ўлЇ®«­Ґ­Ёп ­ҐЄ®в®а®Ј® ®ав®Ј®­ «м­®Ј® ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп. Џгбвм $w_i$
-- Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $\bar{w}$ ®в­®бЁвҐ«м­® Ў §Ёб 
$\{\bar{z}_i\}_{i=1}^n$: $$\bar{w}=\sum_{i=1}^nw_i\bar{z}_i.$$
’®Ј¤ 
$$T\bar{w}=\sum_{i=1}^nw_iT\bar{z}_i=\sum_{i=1}^nw_i\lambda_i\bar{z}_i,$$
Ј¤Ґ $\lambda_i$ -- б®Ўб⢥­­лҐ §­ зҐ­Ёп ¬ ваЁжл $T$,
ᮮ⢥вбвўгойЁҐ б®Ўб⢥­­®¬г ўҐЄв®аг $\bar{z}_i$. Џ®н⮬г
$$\bar{w}^\ast
T\bar{w}=\bar{w}^\ast\sum_{i=1}^nw_i\lambda_i\bar{z}_i=
\sum_{i=1}^nw_i\bar{z}_i^\ast\sum_{i=1}^nw_i\lambda_i\bar{z}_i=
\sum_{i=1}^n\lambda_iw_i^2,$$ Ё§-§  (1). ‡­ зЁв, ў Є®®а¤Ё­ в е,
бўп§ ­­ле б Ў §Ёб®¬ $\{\bar{z}_i\}_{i=1}^n$, д®а¬  $q$ Ё¬ҐҐв
¤Ё Ј®­ «м­л© ўЁ¤,   ¬ ваЁж , ҐҐ § ¤ ой п, в Є¦Ґ ¤Ё Ј®­ «м­  б
б®Ўб⢥­­л¬Ё §­ зҐ­Ёп¬Ё $\lambda_i$ ­  ¤Ё Ј®­ «Ё.

‘®Ј« б­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп¬ ®Ўй п ЄаЁў п ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є  Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$\bar{z}^\ast T\bar z+(\bar{a},\bar{z})+b=0,$$ $T$ --
бЁ¬¬ҐваЁз­ п ¬ ваЁж  а §¬Ґа  2, $\bar{a}$ -- ¤ўг¬Ґа­л© ўҐЄв®а, $b$
-- зЁб«®. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ЄаЁў п ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є  Їг⥬
Ї а ««Ґ«м­®Ј® ЇҐаҐ­®б  Ё Ї®ў®а®в  ­  ­ҐЄ®в®ал© гЈ®« ¬®¦Ґв Ўлвм
ЇаҐ®Ўа §®ў ­® Є ®¤­®¬г Ё§ 9 Є ­®­ЁзҐбЄЁе ўЁ¤®ў.\\ ­Ґа бЇ ¤ ойЁҐбп
«Ё­ЁЁ:

-- н««ЁЇбл $(x/a)^2+(y/b)^2=1$,

-- ЈЁЇҐаЎ®«л $(x/a)^2-(y/b)^2=1$,

-- Ї а Ў®«л $y^2=2px$,

-- ¬­Ё¬лҐ н««ЁЇбл $(x/a)^2+(y/b)^2=-1$,\\ а бЇ ¤ ойЁҐбп «Ё­ЁЁ:

-- Ї а  ¬­Ё¬ле ЇҐаҐбҐЄ ойЁебп Їап¬ле $(x/a)^2+(y/b)^2=0$,

-- Ї а  ¤Ґ©б⢨⥫м­ле ЇҐаҐбҐЄ ойЁебп Їап¬ле $(x/a)^2-(y/b)^2=0$,

-- Ї а  ¤Ґ©б⢨⥫м­ле Ї а ««Ґ«м­ле Їап¬ле $x^2-a^2=0$,

-- Ї а  ¬­Ё¬ле Ї а ««Ґ«м­ле Їап¬ле $x^2+a^2=0$,

-- Ї а  ¤Ґ©б⢨⥫м­ле б®ўЇ ¤ ойЁе Їап¬ле $x^2=0$.