1. Основна властивість невизначеного інтегралу, яка випливає з визначення

= F(x) + C

2. Якщо дві функції тотожні, то невизначені інтеграли від них можете відрізнятися лише на постійну складову

.

3. Знаки та d , що стоять поряд взаємно знищуються

d .

3. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла

f(x )dx = a dx.

3. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох або більше функцій дорівнює сумі(різниці) інтегралів

.

Таблиця основних інтегралів.

1. dx = C

2. dx =

3. dx = ln | x | + C

4. dx = e^x + C

5. 

6. x dx = - cos x + C

7. x dx = sin x + C

8. dx = tg x + C

9. dx = - ctg x + C

10. = arcsin x + C = - arcos x + C.

Способи інтегрування

1. Безпосереднє інтегрування - це спосіб, при якому інтеграл вдається привести до одного чи декількох табличних інтегралів шляхом елементарних тотожних перетворень підінтегрального виразу

2. Інтегрування методом підстановки. В багатьох випадках можна спростити, якщо замість х ввести нову змінну t, тобто x=φ (t)

dx =φ’ ( t ) dt

Тоді

Приклад.

=

t = x-1

x = t+1

dx = dt

Зауваження:

1. Якщо підінтегральна функція має вигляд f(ax + b), то корисною є підстановка ax + b = t.

2. Якщо підінтегральний вираз можна розкласти на два співмножники і в одному з них можна легко розпізнати диференціал деякої функції φ(х), то корисною є підстановка t = φ(x).

Інтегрування по частинам

Нехай U = f (x), V = g (x) - функції від х, які мають неперервні похідні

U = f ‘ (x) та V = g’ (x). Тоді за правилом диференціювання

d (UV) = UdV + VdU

або

UdV = d (UV) – VdU

тоді

кінцева формула

Ця формула виражає правило інтегрування по частинам.

Приклад.

U=x

dV=sin x dx

V=-cos x

V=-cos x.

Визначений інтеграл.

Розглянемо функцію f (x), задану на відрізку [a, b]

f (x)

а в x

Знайдемо площу під цією кривою. Ця площа визначається інтегралом від а до в

I =

де F (x) – первісна.

Різниця значень при х = в та х = а будь-якої первісної для f (x) називається визначеним інтегралом.

Це основна формула інтегрального числення, або формула Ньютона – Лейбница.

Фізичний зміст визначеного інтеграла – площа під інтегральною кривою.

Основні властивості визначеного інтеграла

1. При заміні місцями верхньої та нижньої границі інтегрування визначений інтеграл змінює знак.

2. Для любих трьох чисел а, в, с справедлива рівність

.

3. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування (величина інтеграла залежить від його границь)

4. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла

5. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функції дорівнює алгебраїчній сумі цих визначених інтегралів.

6.

Приклад.

4