Загальні правила диференціювання

Если , , где и – взаимно обратные функции, то	, где
(Функція, задана параметрично .)
Частні випадки	Похідна складної функції Нехай дана складна функція ( функція від функції ) у = f [g(x)] звідси U = g (x) має у деякій точці х похідну U’ = g’ (x), a функція у = f (U) y відповідній точці U похідну y’u = f’(U). Тоді y’x = f’(U) g’ ( x) або y’x = yu’ * Ux’

Степені та логарифми

Диференціал

Нехай функція у = f ( x ) диференційована при деякому значенні змінної х, тоді

.

За означенням границі:

,   0.

Тоді  y = y’ x+  x

Тобто, приріст функції складається з двох доданків, один з яких залежить від  x лінійно, а другий містить степені  x,, вищі за перший.

Означення. Диференціалом функції називається головна частина її при-росту, лінійна щодо приросту аргументу:

dy = y’  x = f ‘(x)  x

Якщо f ( x) = x, то dx = 1 x, тобто dx =  x.

Приклад. Знайти диференціал функції

y = ln ( x² +1).

Розв’язок.

тоді

.

Властивості диференціала аналогічні властивостям похідної

1. dC = 0

2. d (U + V ) = dU +dV

3. d ( UV ) = VdU + UdV

4. .

Тема 7. Елементи інтегрального числення.

Лекія 2

Диференціювання та інтегрування – взаємно зворотні операції.

Визначення. Функція F(X) називається первісною функцією для функції f(x) або інтегралом від f(x), якщо f(x) є похідною функції

F(x) - f(x) =F’ (x).

Знаходження первісної функції називається інтегруванням (а весь комплекс зв’язаний з цим питанням – інтегральним численням ). Ця задача є зворотною для диференціювання.

Пряма задача: Зворотна задача:

диференціювання інтегрування:

F (x)  f ‘(x) f ( x ) = F’(x)  F(x)

Якщо F(x) є первісною для f(x), то вираз F(x) + C називають невизначеним інтегралом від f(x) і позначають

,

де

F(x) – підінтегральна функція

F(x)dx – підінтегральний вираз

x – змінна інтегрування

– знак інтеграла

C – const

Приклад.

F‘(x) = 3 x²,

Розв’язок: .

Знайдена первісна відрізняється одна від одної на величину С.

Приклад. Ця первісна функція не єдина, так як y’ = ( х³ +1 )’ = -3x²,

y’ = ( x³ - 5 )’ = 3x² і т.д.

Отже, дана функція має нескінченну множину первісних

 C  .

Властивості невизначеного інтегралу