Начнем с построения графа состояний. Граф приведено на рис. 6.3.
Очевидно,
что вектор-строка вероятностей начальных
состояний имеет вид
.
Находим вероятности состояний после первого шага:
; 
;
; 
.
Вероятности состояний после второго шага:
;
;
;
Наконец, искомые вероятности после третьего шага равняются:
;
;
;
Проверим
результат на выполнение условия
нормирования :
.
У
словие
нормирования выполняется, задача решена.
Рассмотрим пример использования математического аппарата цепей Маркова для построения моделей речевых сигналов.
Второй пример.
Большинство
звуков языка можно отнести или к
вокализованым (гласным), или к
невокализованым (согласным). Тогда
языковой сигнал в системе связи можно
представить как такой, что имеет три
состояния:
– пауза;
– вокализованый и
– невокализованый звуки. Необходимо
построить модель языкового процесса с
этими тремя состояниями на базе однородной
марковской цепи. Это значит, что надо
найти финальные вероятности
и
.
Решение:
Начнем с построения ориентированного графа. Он изображен на рис. 6.4. Все возможны переходы из одного состояния в другой отмечены соответствующими дугами с указанием вероятности перехода. Если по некоторым причинам любые переходы в системе невозможны, это не изменит граф. Просто соответствующие вероятности перехода будут равняться нулю.
В
случае, который рассматривается
.
Запишем матрицу перехода однородной цепи Маркова для нашего случая.
.
Ч
тобы
найти финальные вероятности, воспользуемся
алгоритмом 2). Для этого составим систему
трех алгебраических уравнений с тремя
неизвестными. Первые два уравнения
получим из (6.14) и третье – из условия
нормировки.
Получим:
Осталось ррешить систему. Воспользуемся ЭВМ и системой MATHEMATICA. Ниже приведен оператор, с помощью которого решена эта система уравнений, и формулы для вычисления финальных вероятностей и . Эти формулы полностью описывают модель исследуемого процесса с тремя состояниями.
Канал связи – модель «черного ящика» [3, 4]
Динамическая система в технике обычно характеризуется своим функциональным назначением – усилитель, контроллер двигателя, радиопередающие и радиоприемные устройства, модемы, кодеки и т. д. Для физических систем, наблюдаемых в природе (например, солнечной), достаточно ответить на вопрос «Как она действует?» В случае же технической системы необходимо также выяснить: «Для чего она предназначена?» Аналогичный интерес к целевому назначению возникает при изучении биологических систем и общественных формаций, которые, как обычно считается, развивались в условиях ограничений, породивших видимость целенаправленности.
Таким образом, при изучении технических систем приходится постоянно обращаться как к их функциональным описаниям (передаточная функция, «черный ящик»), так и к структурным (принципиальная или блочная схема, характеристика состояния). Переход от структурного к функциональному описанию требует анализа заданной структуры для определения ее передаточной характеристики. Обратный переход может потребоваться при синтезе структуры с заданной функциональной характеристикой.
Математически функциональное описание системы имеет вид оператора
,
где:
х(t)
входной
сигнал; у(t)
выходной
сигнал (отклик системы на входное
воздействие х(t));
переменные состояния системы.
Системы,
естественно, могут иметь более одного
входа или выхода. В
этом случае необходимо внести
соответствующие формальные
изменения в функциональное описание
системы. Заметим, что система,
характеризующаяся, например, функцией
вида
является
более ограниченной, чем система,
характеризующаяся оператором
типа
.
В первом случае текущее значение
выходного сигнала зависит лишь от
текущего значения сигнала на входе, во
втором случае величина выходного сигнала
зависит от значений сигнала на входе в
различные моменты времени, например в
течение всего интервала от t
=
0 до настоящего момента. Более того,
наличие в выражении компонента у(0)
свидетельствует о том, что в выходном
сигнале учитываются даже более отдаленные
воздействия [4].
В качестве примера рассмотрим простой но важный случай, а именно: система является линейной с постоянными параметрами, а входное воздействие – детерминированный сигнал [3].
Для решения этой задачи чаще других применяют один из следующих трех методов:
● классический метод, основанный на решении дифференциального уравнения, модулирующего процессы, которые происходят в системе при действии на нее заданного сигнала;
● метод интеграла свертки, который позволяет находить отклик системы непосредственно во временной области;
● спектральный метод, который позволяет найти отклик системы в частотной области.
При решении инженерных и научных задач радиотехники и связи в основном используется третий из перечисленных методов.
В качестве системы может выступать как собственно линейная система с постоянными параметрами, так и канал связи.
Чтобы вспомнить, коротко напомним особенности анализа линейной системы с постоянными параметрами во временной области. Потом более детально рассмотрим анализ в частотной области и сформулируем алгоритмы анализа и синтеза таких систем.
Спектральный метод анализа и синтеза линейных систем с постоянными параметрами
Сначала нужно кое-что вспомнить из дисциплин, касающихся теории сигналов и цепей.
● Частотная
передаточная функция
линейной системы связана с ее импульсной
характеристикой
парой
преобразований Фурье.
● По известной импульсной характеристике (ИХ) с помощью прямого преобразования Фурье можно найти частотную передаточную функцию системы
. (6.15)
● По известной частотной передаточной функции линейной системы с помощью обратного преобразования Фурье можно найти ее ИХ
. (6.16)
Наконец, пусть
и
.
Тогда, учитывая формулы (6.15), (6.16) и теорему
свертки, получаем, что
. (6.17)
Анализ
прохождения
сигналов через линейные системы с
постоянными параметрами спектральным
методом базируется на том положении,
что отклик такой системы на воздействие
в виде синусоидального колебания с
частотой
в
стационарном режиме
(то есть, после окончания переходных
процессов в системе) является синусоидальным
колебанием с той же частотой
,
но с амплитудой, измененной в
раз и начальной фазой, сдвинутой на угол
радиан относительно начальной фазы
синусоидального колебания, которое
действует на входе.
Например, на входе линейной системы действует периодическое колебание, представленное рядом Фурье вида
