1.3. Полный дифференциал и его применение
Пусть
дана функция двух переменных
Предположим, что ее аргументы
и
получают соответственно приращения
и
Тогда функция
получает полное приращение
Геометрически
полное приращение
равно приращению аппликаты графика
функции
при переходе от точки
в точку
Функция
называется дифференцируемой в точке
если ее полное приращение
может быть представлено в виде
где
а
- бесконечно малая более высокого
порядка, чем
Если функция
дифференцируема в данной точке, то ее
полным дифференциалом называется
главная часть полного приращения этой
функции, линейная относительно
и
т. е.
Дифференциалы
независимых переменных, по определению,
равны их приращениям
Для дифференциала функции
справедлива формула
Заменяя
приближенно приращение функции ее
дифференциалом (в предположении
достаточной малости значений
и
получим
Отсюда имеем
Все изложенное распространяется на функции трех и более переменных.
Пример
4. Вычислить приближенно
Решение.
Искомое число будем рассматривать как
значение функции
при
если
Применяя формулу
получаем
Следовательно,
1.4. Дифференцирование сложных функций
Случай одной независимой переменной
Пусть
есть дифференцируемая функция двух
переменных
и
причем аргументы этой функции сами
являются дифференцируемыми функциями
независимой переменной
:
и
Тогда сложная функция
дифференцируема, и ее производная
вычисляется по формуле
.
Пусть
теперь
где
Тогда
т. е. функция
есть функция одной переменной
Этот случай сводится к предыдущему, где
роль переменной
играет
“Полная” производная функции
по
равна
.
Пример
5. Найти
,
если
где
Решение.
Имеем
Пример
6. Найти частную производную
и полную производную
если
а
.
Решение.
Имеем
Случай нескольких независимых переменных
Предположим
теперь, что
где
и
Тогда
есть сложная функция двух независимых
переменных
и
Частные производные этой сложной функции
находят по формулам
и
.
Эти формулы обобщаются на случай сложной функции любого конечного числа аргументов. Во всех случаях справедлива формула
(свойство инвариантности формы полного дифференциала).
Пример
7. Найти частные производные
и
если
,
Решение. Имеем
,
,
;
1.5. Неявные функции и их дифференцирование
Пусть
- дифференцируемая функция трех переменных
и
и пусть уравнение
определяет
как функцию независимых переменных
и
Частные производные этой неявной функции
в точке
вычисляются по следующим формулам:
и
при
условии, что
где
и
Пример
8. Найти частные производные
и
если
определяется, как функция от
и
из уравнения
.
Решение.
Обозначим левую часть данного уравнения
через
Тогда
,
,
.
Отсюда получаем
;
.