Дескрипція

Для того щоб одиничний термін використовувався для позначення індивідуального об'єкта, він мав певним чином виділяти цей об'єкт із сукупності об'єктів.

Для цього описують індивідуальний об'єкт, наводячи його відмітні властивості. Такий спосіб опису називається дескриптивним (лат. descriptio — опис). За іншим способом опису одиничного об'єкта останньому приписують власне ім'я, яке, на відміну від дескрипції, прямо вказує на об'єкт.

Оператор дескрипції, або оператор опису (йота-оператор), позначається перевернутою й поверненою в протилежний бік грецькою літерою і (йота) або великою латинською літерою D, першою літерою латинського слова «descriptio».

Дескриптивний спосіб зображення одиничних термінів дає змогу обходитись без власних імен, не лише таких, як «Петро», «Джон», але й таких, як «золото», «вода», «дерево». Це особливо слід мати на увазі, коли власне ім'я описуваного об'єкта з тих чи інших причин невідоме (наприклад: «автор «Трьох мушкетерів», «відомий англійський детектив, який жив у Лондоні на Бейкер-стріт») або відоме, але воно важко співвідноситься з конкретним предметом. Наприклад: можна знати слово «золото» і його деякі зовнішні ознаки, але не вміти відрізнити його від бронзи. Дескрипція дає змогу оперативно виявити шуканий об'єкт і відповідним чином його ідентифікувати.

Одиничні терміни поділяють на визначені й невизначені. Визначені одиничні терміни вказують на конкретні об'єкти із їх сукупності, тоді як невизначені одиничні терміни вказують просто на представника даної множини (класу) об'єктів, не підкреслюючи його індивідуальність, наприклад: «солдат», «вишня» тощо.

У логіці замість невизначених одиничних термінів вживають символи, які називають змінними. У цьому разі їхня форма читається так: «той х, який» (наприклад: «Той х, який зараховував себе в сини лейтенанта Шмідта, і був гусокрадом»).

Коли вживається йота-оператор (D-оператор), то певна сингулярна пропозиційна форма F(x) набуває значення «істина» тільки для одного значення змінної х.

У логіці оператор дескрипції тісно пов'язаний з кванторами. Коли будь-що описується, то мається на увазі або об'єкт, що реально існує (наприклад місто Київ), або об'єкт, що існує тільки в уяві (наприклад Шерлок Холмс). Отже, питання про критерії існування не може не хвилю-вати логіків, хоч і не в тому розумінні, в якому воно хвилює філософів чи богословів (наприклад доведення існування Бога).

Квантори й змінні: істотні уточнення

Як вже зазначалося, одним із важливих способів одержання висловлення з пропозиційної функції є зв'язування вільних змінних за допомогою кванторів. Наприклад, з пропозиційної функції «х — бравий солдат» за допомогою квантора існування маємо висловлення:

З х (х — бравий солдат).

Таке висловлення читається так: «Існує хоча б один індивідуум, для якого правильно, що х — бравий солдат».

Саме вживання кванторів робить логіку предикатів багатшою та цікавішою за логіку висловлень. Використовуючи квантор існування, запишемо наведене висловлення більш строго:

З х Р(х),

де Р(х) — предикат «х є бравий солдат».

Тепер з'ясуємо значення цієї формули як істину, якщо існує елемент певної предметної області, для якого Р(х) істинне, і як лож у протилежному випадку. Тоді якщо Р (х) — визначена формула логіки предикатів, то формула З х Р (х) також є визначеною й від значення х не залежить.

Формула 3 х Р(х) читається так: «Існує такий х, що Р від х». Використання цієї формули дає змогу стверджувати, що 3 х Р (х) — форма істинного висловлення для всіх предикатів Р(х), крім одного — ложного. Річ у тім, що у формулах 3 х Р(х) та V х Р(х) квантори зв'язують змінну х, тобто, незважаючи на те що в записах формул 3 х Р (х) та V х Р (х) вживається літера х, що позначає змінну, обидві ці формули позначають саме висловлення, а не пропозиційні функції. Отже, ці формули від змінної х більше не залежать. Потрапляючи в область дії квантора, змінна втрачає свою «свободу» і стає зв'язаною змінною. Така змінна не є змінною у власному розумінні цього слова, її наявність у формулі потрібна лише для того, щоб вказати, з якого предиката дане висловлення утворено. Значення цієї псевдозмінної строго визначене й вже не залежить від контексту.

З пропозиційної функції «х — кухар-окультист» за Допомогою квантора загальності можна одержати висловлення про всіх індивідуумів, знайомих з особливим станом голодних духів і з трансміграцією душ, а саме:

Vx (х — кухар-окультист).

Таке висловлення читається так: «Всі х володіють властивістю бути кухарем-окультистом». Запишемо цей вираз:

VхР(х).

Ця формула читається як «Усі х мають властивість Р(х)». Стосовно кухарів-окультистів, яких в австроугорській армії шанували, дана формула розшифровується так: «Усі солдати є (в душі) кухарями-окультистами (мають властивість бути кухарем-окультистом)». Людям, які мислять критично, зрозуміло, що це висловлення не відповідає дійсності і, отже, є брехливим.

Замінивши квантор загальності на квантор існування, маємо істинне висловлення: «Існує хоча б один індивідуум, для якого правильно, що Р від х». Або: «Існує хоча б один індивідуум (солдат) на ім'я Юрайда, для якого правильно, що Юрайда — кухар-окультист».

За допомогою квантора загальності висловлюється думка про те, що кожний індивід певної предметної області має загальну для всіх індивідів цієї області властивість. Інакше кажучи, загальне висловлення — це висловлення, яке констатує, що кожний індивід предметної області має певну властивість. Таке висловлення істинне тільки тоді, коли за будь-якого набору значень його змінних із пропозиційної функції, яку воно містить, мають істинне висловлення.

Перекладаючи це на теоретико-множинну мову, можна сказати: якщо множина складається зі скінченного числа об'єктів, то висловлення про ці об'єкти за формулою Vx P(x) записується у вигляді кон'юнкції одиничних (простих) висловлень. Так, нехай множина М містить п'ять елементів (об'єктів): av a2, av а4, а5. У цьому випадку

висловлення форми /хР{х) рівносильне складному висловленню форми

Р(а{)& Р (а2) & Р (а.) & Р (аА) & Р (as).

Незважаючи на те що квантор загальності можна застосовувати до нескінченних множин, з практичною метою його зручніше вживати як узагальнення якогось скінченного числа одиничних висловлень.

Квантор існування також узагальнює, але узагальнює не операцію кон'юнкції, а операцію диз'юнкції. Розглянемо приклад.

Нехай М— скінченна множина {М= {о,, а2, а3, q, можна довести -і q -> -> p.

Слід мати на увазі, що кон'юнкція є переставною, або комутативною (лат. commutatio — зміна), оскільки її члени можна міняти місцями. При цьому приймається така логічна теорема:

Якщо (р і q), то (((/= х).

3. Транзитивність: якщо х еквівалентний у, а у еквівалентний z, то х еквівалентний z, тобто ((х= у) & (у= z)) —> |

Відношення еквівалентності можна виразити формулами логіки предикатів. Для цього записують у вигляді аксіом рефлексивність, симетричність і транзитивність. Готові результати будуть такими:

Згідно з цим правилом, якщо певний індивід множини має якусь властивість, то можна зробити висновок, що існує хоча б один індивід, якому ця властивість притаманна.

На відміну від логічних законів, які імперативно вимагають, щоб висновок був завжди істинним, логічні правила менш жорсткі. Вони надають можливість визнавати за істинні нові висловлення залежно від того, який вигляд мають висловлення-посилки, вже визнані за істинні.

Сьогодні вважається незаперечним, що не можна плутати вирази, які вживаються для висловлень про позамовну реальність, і вирази, за допомогою яких висловлюються про вирази з приводу позамовної реальності. У зв'язку з цим слід поділити початкову єдину мову на дві мови. Перша з них є мовою, якою говорять про предмети навколишнього світу. Іноді цю мову називають предметною (мовою предметів), але найчастіше вживають терміни «мова-об'єкт», «мова об'єктів», «об'єктна мова». Іншою мовою є та, у якій можна формулювати висловлення про вирази мови-об'єкта. Цю мову називають метамовою. Метамова має бути завжди багатшою за мову-об'єкт, тобто всі вирази мови-об'єкта повинні мати вираження у метамові.

Під час побудови формалізованої мови (мови-об'єкта) слід мати відповідну метамову, без допомоги якої неможливо формулювати основні правила побудови мови-об'єкта.

Побудову формалізованої мови можна поділити на дві частини — синтаксичну й семантичну.

Синтаксична частина складається з неінтерпрєтованої формалізованої мови, а семантична стосується інтерпретації формалізованої мови.

З синтаксичного погляду формалізована мовна система означається так:

■ Клас вихідних символів (словник), що містить змінні, константи й допоміжні символи. Скінченна послідовність символів називається виразом.

■ Клас термів — це підклас класу всіх виразів. Кожна змінна є терм.

■ Клас формул — це підклас усіх виразів. Якщо р q — терми, то (р v q) — формула. Якщо р — формула, то і -> р — формула. Якщо р — формули, то (р -* q) — формула.

■ Клас аксіом — це підклас класу всіх формул.

■ Скінченний клас правил виведення, згідно з кожним із яких формула, що іменується висновком, безпосередньо виводиться із скінченного класу формул, котрі називаються посилками.

Правила, які визначають належність до перших трьох із перелічених класів, називаються правилами утворення, а ті, що визначають належність до останніх двох класів, — правилами перетворення.

Цього замало для одержання формалізованої мови. Неможливо мати формалізовану мову доти, доки не буде вказано її інтерпретацію. А для процедур інтерпретації потрібна наявність метамови, за допомогою якої, значно багатшої за конструйовану формалізовану мову (мову-об'єкт), формулюються певні семантичні правила. За цими правилами для кожної правильно побудованої формули з'ясовується те, яким чином дана формула набуває значення (наприклад: «істина» чи «ложність»). Інакше кажучи, семантичні правила, що вказують на інтерпретацію, мають бути такими, щоб аксіоми формалізованої мови завжди мали відповідне істиннісне значення.

Інтерпретація формалізованої мовної системи вважатиметься правильною, якщо всі аксіоми завжди набуватимуть значення «істина». У протилежному випадку інтерпретація вважається неправильною.

Формалізована мова називається правильною чи неправильною залежно від того, правильна чи неправильна інтерпретація, за допомогою якої її одержано в рамках певної логічної системи.

Контрольні запитання й завдання

1. Чому представники інтуїціонізму в математиці заперечують закон виключеного третього?

2. Що таке конструктивність у математиці й логіці?

3. Дайте загальну характеристику теорії нечітких множин (підмножин).

4. Що вивчає модальна логіка? Назвіть основні напрями досліджень у галузі модальної логіки.

5. Що ви знаєте про логічну семантику?

6. Проаналізуйте наведені вирази з погляду дистинкції «зміст/значення»: «Переможець під Ієною» і «Переможений під Ватерлоо».