Оператор «набла»

Для упрощения расчетов введен векторный дифференциальный оператор (набла). В декартовой системе координат , где - орты X, Y, Z.

• не имеет смысла сам по себе, а только при символическом умножении его на некоторую величину (векторную или скалярную).

Теорема о циркуляции вектора

Известно, что поле центральных сил консервативно, т.е. . Электростатическое поле системы точечных зарядов –поле центральных сил, т.е. оно консервативно.

Тогда из и или

- теорема о циркуляции вектора : циркуляция вектора Е по замкнутому контуру равна нулю.

Потенциал

Известно, что работа консервативных сил при перемещении частицы из т.1 в т.2 поля: , где и - значения потенциальной энергии частицы в точках 1 и 2, - сила , - элементарное перемещение. Тогда для электрического поля , где и - потенциалы поля в т.1 и т.2.

Потенциал ( ) – скалярная физическая величина, численно равная потенциальной

энергии единичного положительного точечного заряда в данной точке поля.

=1В – вольт.

• определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, т.е.

произвольной точке О можно присвоить любое значение , а потенциалы всех других

точек поля однозначно определятся относительно т.О.

• Все электрические явления определяются не значением в какой-либо точке, а

разностью потенциалов в избранных точках поля.

Потенциал поля точечного заряда

Для дифференциально малых из , где -

дифференциально малое приращение на .

Значит, зная , можно определить (с точностью до C=const).

Для поля точечного заряда:

, где , С=const.

Полагаем, что при принимаем С=0. Тогда .

Потенциал поля системы зарядов

Для системы неподвижных точечных зарядов:

, где - принцип суперпозиции . Если заряд распределен непрерывно:

а) по объему: , где - объемная плотность заряда в объеме .

б) по поверхности: , где поверхностная плотность заряда на

площади dS.

Связь и

Пусть перемещение направлено вдоль оси Х. Тогда , где - орт оси Х ,

dx – приращение координаты х.

, где - проекция на

или , т.е. надо дифференцировать только по х , считая y и z

постоянными.

Аналогично ;

Таким образом, зная ,всегда можно восстановить .

Связав систему координат с ортом касательной к l , получим:

и , т.е. проекция на равна минус производной потенциала по

направлению .

Эквипотенциальные поверхности

Эквипотенциальная поверхность – поверхность, все точки которой имеют

одинаковый потенциал.

Из и что проекция на касательную к эквипотенциальной поверхности равна нулю, т.е. нормален к эквипотенциальной поверхности.

Рассмотрим по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения .

Т огда <0 и >0 , т.е. направлен нормально к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала.

• Эквипотенциальные поверхности (эквипотенциали ) удобно проводить с одинаковой между ними. Тогда по их густоте можно судить о напряженности поля (где плотность эквипотенциалей больше, там напряженность выше).

Электрический диполь

Электрический диполь – система из двух одинаковых по модулю разноименных

зарядов, находящихся на расстоянии друг от друга.

Поле диполя:

1. р

   A

   ассматривают на расстоянии r>>

2. осесимметрично.

Для т. А :

, .

Тогда или , где

- дипольный электрический момент (или дипольный момент).

для : , где q>0.

По известному φ(r) определим . Для этого найдем .

Из

, тогда

Для : . Для : , т.е.

Сила, действующая на диполь

Поместим диполь в неоднородное поле. На него действует сила . - приращение Е на отрезке в направлении .

мало или или

.

• В однородном поле , т.е к диполю приложена равнодействующая