Система уравнений Максвелла

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать систему уравнений, описывающую все известные ранее разрозненные явления.

- интегральная форма уравнений Максвелла в неподвижных средах, где – объемная плотность зарядов; – плотность тока проводимости; dV – элемент объема.

Содержание этих уравнений:

1. Циркуляция по любому замкнутому контуру равна минус производной по времени магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом

, где – электростатическое поле, - вихревое;

2. Поток через любую замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют);

3. Циркуляция по любому замкнутому контуру равна полному току (проводимости и смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром;

4. Поток сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Из уравнений Максвелла следует, что и нельзя считать независимыми: изменение во времени одного из них порождает другое.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Согласно формуле Стокса для поля некоторого вектора : Тогда:

1. из - уравнение связи и в данной точке поля.

2. из - уравнение связи , и в данной точке поля.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса Тогда:

3. Из - теорема Гаусса для в дифференциальной форме.

4. Из - теорема Гаусса для в дифференициальной форме.

Тогда: - уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме говорят о том, что:

1. ЭП может возникнуть по двум причинам:

а) наличие электрических зарядов (как сторонних, так и связанных) ;

б) наличие изменяющегося во времени магнитного поля ( ).

2) магнитное поле порождается либо движущимися зарядами либо переменными электрическими полями либо и тем и другим вместе ;

3) магнитных зарядов в природе нет .

Значение уравнений Максвелла в дифференциальной форме не только в том, что они выражают основные законы ЭМП, но и в том, что путем их решения могут быть найдены сами поля и .

В теории Максвелла показано:

1. ЭМП может существовать без электрических зарядов и токов в виде ЭМВ (электромагнитной волны);

2. В неферромагнитной среде ЭМВ распространяется со скоростью , где ;

3. ЭМВ взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (это свойство ЭМВ);

4. и в ЭМВ колеблются в одинаковых фазах.

• Уравнения Максвелла инвариантны относительно ИСО.

На основе своих уравнений Максвелл успешно развил электромагнитную теорию света.

Теорема Пойнтинга

Энергия ЭМП локализуется в самом ЭМП. По закону сохранения энергии если в какой-то определенной области количество энергии уменьшается, то она выходит за границы этой области.

- теорема Пойнтинга: убыль энергии в единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограничивающую этот объем, плюс мощность Р, которую силы поля производят над зарядами вещества внутри данного объема.

Здесь ; , где ω - плотность энергии поля, - плотность тока проводимости; - вектор Пойнтинга (характеризует плотность потока энергии), - напряженность электрического поля.

• Р - величина алгебраическая ( зависит от направления движения зарядов). Р> 0, если «+» заряды движутся по полю и обратно (для «-» зарядов Р>0, если они движутся против поля и обратно).

Пойнтинг показал, что для однородных негистерезисных сред и вектор Пойнтинга .