Электрические колебания
Периодически
изменяющийся ток мы будем называть
квазистационарным,
если для него выполняется условие τ
= 
<< T,
где
-
длина рассматриваемого участка цепи,
с - скорость света в вакууме, Т- период изменения тока.
К квазистационарным токам применимы выражения, полученные при рассмотрении стационарных процессов.
Уравнение колебательного контура
Рассмотрим
цепь из R,
L,
C,
ε. Выберем направление обхода по часовой
стрелке. Пусть в некоторый момент времени
обкладка
2
несет заряд q>0
и ток течет в направлении обхода. Тогда
I
=
и для участка 1 RL2:
RI = φ1 – φ2+εs+ε, где εs – ЭДС самоиндукции.
εs
=-L
;
.
Тогда или – уравнение колебательного контура.
Решив
это уравнение можно найти
и
.
- уравнение
колебательного контура,
где
;
wo
– собственная
частота колебаний контура,
;
β
– коэффициент затухания. Из
- формула
Томсона.
Свободные колебания
При R
= 0 и ε
= 0 уравнение
контура примет вид:
(*)- уравнение
свободных колебаний,
решение которого q
= qmcos(wot+α),
где qm
– амплитуда заряда на С,
α
– начальная фаза колебаний.
,
т.е. ток в цепи опережает по фазе напряжение
на емкости на 
.
Затухающие колебания
Если R
≠ 0, а ε
=0, то
- уравнение
затухающих колебаний.
Д
оказано,
что для β <
wo
решение
,
где
;
qm
и α
– постоянные, определяемые начальными
условиями.
q(t)
– функция непериодическая,
однако
называют периодом
затухающих колебаний.
–
амплитуда затухающих
колебаний.
Напряжение
на конденсаторе
.
Ток в контуре
и
с учетом
;
;
;
;
,
Вариант
мы не рассматриваем, т.к. тогда 0<δ<
,
что невозможно, т.к.
при R=0
(см.«свободные колебания»), т.е. при
наличии активного сопротивления R
ток в контуре опережает напряжение на
конденсаторе на угол δ>
.
Графики Uc(t) и I(t) имеют вид, аналогичный q(t).
Величины, характеризующие затухание
Коэффициент затухания β =
.
Время релаксации (τ) –время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз
.
Логарифмический декремент затухания
,
где а
– амплитуда соответствующей величины
(q,
U,
I).
С учетом
,
где
-
число колебаний за время τ.
Если β
<< wo,
то
и
.Добротность
.
Для слабого затухания β<<
wo
и
,
где W-
энергия, запасенная в контуре, δW
– уменьшение W
за период Т.
Вынужденные электрические колебания
Пусть в контур
RLC
включена ε=
εmcosωt.
Тогда уравнение установившихся колебаний:
=
εmcosωt
или
.
Доказано, что
q= qmcos(ωt- ψ), где qm – амплитуда заряда на конденсаторе, ψ – разность фаз ε и q.
I=
=
-ω
qmsin(ωt-
ψ)=
ω
qmcos(ωt-
ψ+
)
или I=
Im
cos(ωt-
φ),
где Im=ωqm;
φ= ψ- - разность фаз ε и I.
Для контура UR + UL +UC=εmcosωt. Тогда UR= RI =RImcos(ωt- φ);
.
.
Видим, что
по отношению к току I:
UR – синфазно, UL – опережает на , UC – отстает на .
Амплитуды
:
;
;
.
Из векторной диаграммы:
