Глава I. Численные методы решения уравнений

В этой главе будут изучены некоторые методы приближённого решения уравнений вида f(x) = 0 , где f : R  R – заданная непрерывная функция действительного переменного. Требуется найти все корни этого уравнения. Обычно процесс решения предполагает следующие этапы:

1. локализация корней;

2. нахождение приближённых значений корней с заданной погрешностью .

§ 1. Задача локализации корней

Процесс локализации корней подразумевает нахождение в области определения функции конечной системы непересекающихся отрезков [_i ; _i ] (1  i  k), на каждом из которых функция имеет ровно один корень, и любой корень принадлежит одному из рассматриваемых отрезков. Как правило, вначале находят ограниченный интервал [; ], в котором содержатся все корни, т.е. решают задачу ограничения корней, а затем, рассматривая функцию f : [; ]  R на этом интервале, уже локализуют её корни.

Ограничение корней

Задача ограничения корней разрешима не всегда, т.к. у функции может быть бесконечное количество корней, которые не возможно заключить ни в один ограниченный отрезок [; ]: простейший пример: f(x) = sin x с корнями ·k (k  Z). Даже в случае, когда подобная ситуация не возникает, общих методов решения задачи ограничения корней для непрерывной функции нет. Оценки корней известны лишь для простейших элементарных функций. Например, лемма о модуле старшего члена, изучаемая в курсе алгебры, приводит к следующему результату:

Теорема (о границах корней многочлена). Все корни любого многочлена f(z) = a_nzⁿ + a_n–1z^n–1 + … + a_kz^k + a₀  С[z] степени n, где a₁ = … … = a_k–1 = 0, a_k  0, лежат в кольце , где .

Для произвольной функции задача ограничения корней требует аналитической работы. При этом можно пытаться применять различные методы решения неравенств f(x) 0 , а также пользоваться следующим очевидным результатом:

Теорема (достаточное условие для ограничения корней). Пусть задано уравнение f(x) = 0 с дифференцируемой функцией f : R  R .

(1) Если числа ,   R таковы, что f()  0, f()  0 и f(x) > 0 при x  (–∞ ; )  (; +∞), то все корни рассматриваемого уравнения принадлежат отрезку [; ].

(2) Если числа ,   R таковы, что f()  0, f()  0 и f(x) < 0 при x  (–∞ ; )  (; +∞), то все корни рассматриваемого уравнения принадлежат отрезку [; ].

Доказательство. (1) Функция f(x) возрастает на (–∞ ; )  (; +∞), поэтому для x  (–∞ ; ) верно f(x) < f()  0, а для x  (; ∞) верно f(x) > f()  0. Утверждение (2) доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Примеры: 1. Ограничить корни уравнения x – cos 2·x = 0.

Здесь f(x) = x – cos 2·x, и ввиду |cos 2·x|  1 равенство x = cos 2·x возможно лишь при |x|  1. Таким образом, все корни рассматриваемого уравнения принадлежат отрезку [–1; 1].

2. Ограничить корни уравнения e^x – 1000·ln x = 0.

Функция f(x) = e^x – 1000·ln x определена при x > 0, причём справедливо неравенство , т.к. числитель дроби x·e^x – 1000 строго возрастает при x > 0 и = +∞ . Поэтому можно найти такое  > 0, для которого f() > 0: например, воспользовавшись оценкой x·e^x – 1000 > 2^x – 1000 > 0 при x > 9. Кроме того,

f(9) = e⁹ – 1000·ln 9 > 2,7⁹ – 1000·3  7625,597484987 – 3000 > 0.

Таким образом, все корни рассматриваемого уравнения принадлежат отрезку [0; 9].

Можно ещё заметить, что при x  (0; 1] значения рассматриваемой функции положительны, поскольку ln x  0. Так что найденный интервал [0; 9] можно сузить до [1; 9].

3. Ограничить корни уравнения ln(2·x + 1) – 0,1·x².

Для функции f(x) = ln(2·x + 1) – 0,1·x², определённой при x > –0,5, имеем . Решая неравенство 2·x² + x – 10 > 0, находим, что при x > –0,5 справедливо f(x) > 0  x  (–0,5; 2). При этом функция f(x) возрастает на (–0,5; 2), убывает на (2; +∞), и , f(2) = ln 5 – 0,4 > 0, . Ясно, что f(x) имеет два корня (один на отрезке (–0,5; 2), второй – на (2; +∞)). Поскольку f(10) = ln 21 – 10 < 4 – 10 = –6 < 0, то корни принадлежат (–0,5; 10].

Можно заметить (?!), что один корень – число 0, а второй принадлежит отрезку (2; 5].