Глава IV. Некоторые методы аппроксимации функций

Слово аппроксимация означает приближение. Более конкретно, будут рассматриваться приближения функций многочленами. В качестве меры приближения рассматривается норма .

Сразу нужно отметить, что область изменения x здесь должна быть ограниченной и замкнутой: легко понять, что для функции f(x) = e^x не существует многочлена p(x) со свойством , ибо при x  + экспонента возрастает быстрее любого многочлена.

В то же время, и на отрезке [a; b] не всякую непрерывную функцию можно сколь угодно близко приблизить многочленом: например, это нельзя сделать для функции Пеано f : [0; 1]  [0; 1][0; 1], непрерывно отображающей отрезок [0; 1] на весь единичный квадрат [0; 1][0; 1]. Тем не менее, будет доказано, что некоторые бесконечно дифференцируемы на (a; b) функции можно сколь угодно близко приблизить многочленами:

 f  С^ ([a; b], R)   > 0  p(x)  R[x] .

Часто в вычислительных задачах функции задаются не формулами, а конечным числом значений, вычисленных в некоторых точках, т.е. таблицами вида

x1	x2	…	xn–1	xn
y1 = f(x1)	y2 = f(x2)	…	yn–1 = f(xn–1)	yn = f(xn)

Задача о нахождении по такой таблице приближённого значения f(x) в точке x  [x₁ ; x_n] называется задачей интерполяции (interia – внутри), а задача нахождения приближённого значения f(x) в точке x  [x₁ ; x_n] – задачей экстраполяции (exteria – вне).

Все эти задачи будут обсуждаться в настоящей главе.

§ 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Часто в вычислительных задачах функции задаются не формулами, а конечным числом значений, вычисленных в некоторых точках, т.е. таблицами вида

x1	x2	…	xn–1	xn
y1 = f(x1)	y2 = f(x2)	…	yn–1 = f(xn–1)	yn = f(xn)

Естественно возникает вопрос о нахождении формулы, дающей в заданных точках указанные значения. Одним из простейших видов зависимостей, определяющих функции, являются многочлены. Поэтому возникает вопрос: всегда ли найдётся многочлен p(x)  C[x], принимающий в попарно различных точках x₁ , … , x_n  С значения y₁ , … , y_n  C : p(x_i) = y_i (1  i  n) ?

Сразу нужно отметить, что решение этого вопроса существенно зависит от области коэффициентов: например, многочлен с целыми коэффициентами f(x) = f_kx^k + … + f₁x + f₀  Z[x] не может принимать значение y₁ = 2 при x₁ = 2 и значение y₂ = 5 при x₂ = 4. Действительно, первое условие f(2) = f_k2^k + … + f₁2 + f₀ = 2 гарантирует чётность свободного члена f₀  Z, вопреки второму условию f(4) = f_k4^k+…+f₁4+f₀ = 5.

Теорема (интерполяционная формула Лагранжа). Пусть даны попарно различные точки поля x₁ , … , x_n  F, и произвольные y₁ , … , y_n  F . Тогда существует однозначно определённый многочлен L(x)  F[x] степени не выше n – 1, принимающий в точках x₁ , … , x_n значения y₁ , … , y_n : L(x_i) = y_i (1  i  n). При этом имеет место явная формула для нахождения многочлена L(x), называемая интерполяционной формулой Лагранжа:

L(x) = .

Доказательство. Формула Лагранжа корректно определена, т.к. точки x₁ , … , x_n попарно различны, и значит, знаменатели всех слагаемых ненулевые.

Подставляя в формулу Лагранжа значение x = x_i , непосредственно убеждаемся, что при i ≠ k. Поэтому получаем:

.

Таким образом, указанный в формуле Лагранжа многочлен действительно принимает заданные значения y_i при x = x_i (1  i  n).

Многочлен L(x), будучи суммой многочленов степени n – 1, сам имеет степень не выше n – 1. Таким образом, L(x) – искомый многочлен степени не выше n – 1. Он определён однозначно, т.к. если p(x) – ещё один многочлен степени не выше n – 1, принимающий заданные значения y_i при x = x_i (1  i  n), то разность L(x) – p(x) тоже имеет степень не выше n – 1 и обращается в ноль в n различных точках x₁ , … , x_n вопреки теореме о числе корней многочлена.

Теорема доказана.

Пример: Найти комплексный многочлен не выше второй степени, принимающий в точках 0, 1, 2 значения –1, 2, –3 соответственно.

По интерполяционной формуле Лагранжа имеем:

Теорема (общий вид интерполяционного многочлена). Пусть F – поле, x₁ , … , x_n – попарно различные точки поля F, y₁ , … , y_n  F . Тогда любой многочлен p(x)  F[x], принимающий в точках x₁ , … , x_n заданные значения y₁ , … , y_n (1  i  n) имеет вид

p(x) = L(x) + (x – x₁)…(x – x_n)q(x),

где q(x) – некоторый многочлен над F.

Доказательство. Многочлен p(x) – L(x) обращается в ноль при любом значении x = x_i (1  i  n). По теореме Безу рассматриваемая разность делится на каждый из двучленов x – x_i , а значит, и на их произведение: p(x) – L(x) = (x – ₁)…(x – _n)q(x) при некотором q(x)  F[x].

Теорема доказана.

Описанные выше методы позволяют решить и более сложную интерполяционную задачу: всегда ли найдётся такой многочлен f(x)  F[x], что в различных точках x₁ ,…, x_n  F он принимает заданные значения y₁ , … , y_n  F , в то время как его производная f(x) в тех же точках принимает значения z₁ , … , z_n : f(x_i) = y_i , f(x_i) = z_i (1  i  n) ?

Теорема (об интерполяции с производными). Пусть F – поле, x₁ , … , x_n – попарно различные точки поля F, y₁ , … , y_n , z₁ , … , z_n  F. Тогда существует такой однозначно определённый многочлен f(x)  F[x] степени не выше 2n – 1, принимающий в точках x₁ , … , x_n заданные значения y₁ , … , y_n , что значения его производной в этих же точках равны z₁ , … , z_n соответственно: f(x_i) = y_i , f(x_i) = z_i (1  i  n). Таким образом, любой многочлен степени 2n – 1 над полем полностью определяется своими значениями и значениями своей производной в n попарно различных точках.

Доказательство. Если f(x) – искомый многочлен, то предыдущая теорема позволяет искать его в виде f(x) = L(x)+(x–x₁)…(x–x_n)q(x), где q(x) – некоторый многочлен степени не выше n–1 (учтено ограничение d(f)  2n–1). Остаётся найти многочлен q(x). Сведём эту задачу к предыдущей, вычислив значения многочлена q(x) в точках x₁ , … , x_n .

Имеем f(x) = L(x)+[(x–x₁)…(x–x_n)]q(x)+(x–x₁)…(x–x_n)q(x) =

= =

Поэтому z_i = f(x_i) = L(x_i)+q(x_i)(_i –x₁)…(x_i –x_i–1)(x_i –x_i+1)…(x_i –x_n), и значения

однозначно определены. Поэтому многочлен q(x) степени не выше n–1 однозначно восстанавливается.

Теорема доказана.

Пример. Найти многочлен, принимающий в точках 0, 1, 2 значения 1, 2, 3 и имеющий в этих точках значения производной –1, 0, 1 соответственно.

Согласно теореме будем искать многочлен в виде

f(x) = L(x)+x(x–1)(x–2)q(x),

где q(x) – многочлен степени не выше 2, а L(x) = x + 1. Тогда L(x) = 1 и . Решаем задачу интерполяции для q(x) по формуле Лагранжа:

= – (x² – 3x + 2) – (x² – 2x) = – x ²+ x – 1.

Итак, окончательно получаем

f(x) = x + 1 + x(x – 1)(x – 2)( – x² + x – 1) =

= x + 1+ x(x² – 3x + 2)( – x² + x – 1 ) =

= x + 1+ x(– x⁴ + 8x³ – x² + 10x – 2) =

= – x⁵ + 8x⁴ – x³ + 10x² – x + 1 .

Упражнения: 1. Существует ли многочлен с целыми коэффициентами, принимающий в точках 1, 2, 3 значения 5, 6, 7 соответственно ? Найдите такой многочлен с рациональными коэффициентами.

2. Найти все многочлены над R, принимающие в точках –1, 0, 1, 2 значения –2, –1, 0, 1 соответственно.

3. Найти все многочлены над R, принимающие в точках –1, 0, 1, 2 значения –2, –1, 0, 1 соответственно и имеющие значение производной в этих точках 0, 1, 0, –1 соответственно.

Конечно, построенный многочлен может совершенно не отражать свойств исходной функции, поскольку через заданные n точек можно провести бесконечное число графиков различных функций. Поэтому для задач аппроксимации важно уметь оценивать величину |f(x) – L(x)| отклонения интерполяционного многочлена от исходной функции с точки зрения той или иной нормы на пространстве функций.

Теорема (о величине отклонения многочлена Лагранжа). Пусть функция f : [a; b]  R является n раз непрерывно дифференцируемой на отрезке [a; b]. Если по заданным точкам x₁ , … , x_n  [a; b] и значениям функции в этих точках y₁ = f(x₁), … , y_n = f(x_n) построен многочлен Лагранжа L(x), то справедлива оценка

,

где П_n(x) = (x – x₁) … (x – x_n), M_n = .

Доказательство. Рассмотрим функцию u(x) = f(x) – L(x) – cП_n(x), где c – некоторая постоянная, значение которой будет указано позднее. Поскольку П_n(x) = 0 при x = x_i , f(x_i) = L(x_i) (1  i  n), то функция u(x) имеет на отрезке [a; b], как минимум, n корней x_i  [a; b].

Выберем точку p  [a; b], не совпадающую с x₁ , … , x_n и положим . Тогда функция u(x) будет обращаться в ноль и в точке p, т.е. она будет иметь не менее n + 1 корня на отрезке [a; b]. Пусть (для определённости) p  (x_i ; x_i+1). Тогда функция u(x) на концах каждого из отрезков [x₁ ; x₂], … , [x_i–1 ; x_i], [x_i ; p], [p ; x_i+1], [x_i+1 ; x_i+2], … , [x_n–1 ; x_n] принимает одинаковые (нулевые) значения. По теореме Ролля на каждом из этих отрезков производная u(x) обращается в ноль. Эти n нулей производной образуют систему из (n – 1)-го отрезка, на каждом из концов которых u(x) принимает одинаковые (нулевые) значения. Значит к производной снова можно применить теорему Ролля и найти n – 1 нуль второй производной u(x). Продолжая этот процесс, найдём, по крайней мере, один нуль n-й производной u⁽ⁿ⁾(x) – точку   [a; b].

Поскольку L(x) – многочлен степени не выше n – 1, а П_n(x) – многочлен степени n, то L⁽ⁿ⁾(x)  0, П_n⁽ⁿ⁾(x) = n! и 0 = u⁽ⁿ⁾() = f ⁽ⁿ⁾() – 0 – cn! , т.е. . Это значение должно совпадать с выбранным ранее: , так что f(p) = L(p) + П_n(p).

Поскольку точка p выбиралась произвольно с единственным условием p  x_i (1  i  n), то получена формула f(x) = L(x) + П_n(x) (x  [a ; b]), которая верна и при x = x_i : f(x_i) = L(x_i) , П_n(x_i) = 0. Поэтому |f(x) – L(x)| = и .

Теорема доказана.

Следствие (об аппроксимации многочленами некоторых бесконечно дифференцируемых функций). Если f – бесконечно дифференцируемая на (a; b) функция, причём все её производные ограничены одной константой на [a; b], т.е.  M  R  x  [a; b] |f ⁽ⁿ⁾(x)|  M, то функция f сколь угодно близко аппроксимируется многочленом :

  > 0  p(x)  R[x] .

Доказательство. Разобьём отрезок [a; b] на n равных отрезков точками x₁ = a, x₂ , … , x_n = b и построим интерполяционный многочлен Лагранжа L(x). Тогда , и последняя величина при больших n может быть сделана меньше любого  > 0, т.к. по формуле Стирлинга .

Следствие доказано.

Замечание: Условие равномерной ограниченности всех производных на отрезке [a ; b] существенно: для функции на отрезке [–1; 1] интерполирование по равномерной сетке с шагом 2 / n не приводит к близкой аппроксимации, т.к. . Причина кроется в неограниченности производных этой бесконечно дифференцируемой функции при n   .

Интерполяционный многочлен Лагранжа применяется для решения задачи интерполяции функций.

Пример. Найти приближённое значение функции, заданной таблично, в точке x = 1,0663

xi	1,055	1,060	1,065	1,070	1,075	1,080
yi = f(xi)	1,79887	1,62689	1,47690	1,32160	1,17447	1,04921

Воспользуемся интерполяционной формулой Лагранжа:

,

которая может быть переписана в виде , где

П_n+1(x) = (x – x₀)(x – x₁) … (x – x_n),

D_i = (x_i – x₀) … (x_i – x_i–1)(x – x_i) (x_i – x_i+1) … (x_i – x_n).

Для равноотстоящих друг от друга узлов имеем x_i+1 = x_i + h (0  i  n–1), где h = . Поэтому

D_i = (x_i – x₀) … (x_i – x_i–1)(x – x_i) (x_i – x_i+1) … (x_i – x_n) =

= ih(i – 1)h…h(x – x_i)(–h)…(i – n)h = (–1)^n–ii!(n – i)!(x – x_i)hⁿ =

= (–1)^n–ii!(n – i)!(x – x₀ – ih)hⁿ = (–1)^n–ii!(n – i)!(t – i)hⁿ⁺¹

при t = . Кроме того, П_n+1(x) = (x – x₀)(x – x₁) … (x – x_n) =

= th(t – 1)h…(t – n)h = t(t – 1)…(t – n)hⁿ⁺¹,

так что , где

П_n+1(t) = t(t – 1)…(t – n), С_i = (–1)^n–ii!(n – i)! .

По этой формуле и вычисляем y(x)  L_n(x). При этом, как доказано выше, в предположении о (n+1)-кратной непрерывной дифференцируемости функции y(x) выполняется оценка , где .

Вычисления можно оформить в виде таблицы:

Итак, y(x)  1,43688.