§ 3. Метод Симпсона (параболическое интерполирование)

До сих пор функция f(x) на каждом из отрезков интегрирования заменялась линейной функцией вида k·x + m. Для более точного приближения заменим её квадратным трёхчленом a·x² + b·x + c, где коэффициенты a , b , c подберём так, чтобы значения этого трёхчлена совпадали с f(x) в трёх точках: x_i , x_i+1/2 = и x_i+1 . Такое требование приводит к системе линейных уравнений с неизвестными a, b, c:

,

определитель которой равен

и не обращается в ноль. Таким образом, эта система имеет единственное решение при любых правых частях.

Для того чтобы найти решение без вычислений, заметим, что квадратный трёхчлен

где  = x_i+1 – x_i удовлетворяет требованиям L(x_i) = f_i , L(x_i+1/2) = f_i+1/2 , L(x_i+1) = f_i+1 , в чём легко убедиться, подставляя эти значения аргумента.

Кроме того, справедливы следующие выкладки:

Аналогично вычисляем:

Значит,

.

Теперь получаем формулу Симпсона:

Для оценки погрешности этой формулы будем рассуждать так же, как и для формулы трапеций, предполагая функцию f(x) трижды непрерывно дифференцируемой на (x_i ; x_i+1). Оценим разность

r(x) = f(x) – L(x) – K·(x – x_i)·(x – x_i+1/2 )·(x – x_i+1),

где x  (x_i ; x_i+1/2)  (x_i+1/2 ; x_i+1) = I, а K – постоянная, определяемая условием r(y) = 0 для некоторой фиксированной точки y  I, т.е. . Таким образом, трижды непрерывно дифференцируемая функция r(x) обращается в ноль, по крайней мере, в четырёх точках: x_i , y, x_i+1/2 , x_i+1 .

По теореме Роля, производная r(x) имеет, по крайней мере, по одному корню на каждом их отрезков (x_i ; y), (y ; x_i+1/2) и (x_i+1/2 ; x_i+1) (или (x_i ; x_i+1/2), (x_i+1/2 ; y) и (y ; x_i+1) в зависимости от расположения точки y относительно середины x_i+1/2 отрезка (x_i ; x_i+1)). Ещё раз применяя теорему Ролля, получим, что у второй производной r(x) есть, как минимум, два корня на (x_i ; x_i+1), а у r(x) – один. С другой стороны, ясно, что r(x) = f(x) – 0 – 6·K. Таким образом, K = , где   (x_i ; x_i+1) – корень r(x). Итак,

f(y) = L(y) + ·(y – x_i) ·(y – x_i+1/2 )·(y – x_i+1),

т.к. r(y) = 0, а  зависит от y.

Интегрируя по y в отрезке [x_i ; x_i+1], получим

,

причём первое слагаемое в правой части равно (оно было вычислено ранее): , где  = x_i+1 – x_i . Значит,

.

Кроме того,

где M_i = |f(x)| . Последний интеграл нужно вычислять, раскрывая модуль:

Таким образом,

и в общем виде

где M = |f(x)| .

Замечание: При условии четырежды непрерывной дифференцируемости на (a ; b) можно доказать, что погрешность метода Симпсона не превосходит , где M = |f ^(IV)(x)| .

Полученная оценка позволяет по заданной погрешности  из неравенства найти число итераций n : n > , вычислить  = , и применить осмысленно формулу Симпсона .

Пример. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .

Оцениваем для подынтегральной функции f(x) = третью производную:

f(x) = , f(x) = ,

f(x) = .

т.к. |–x³ + x|  |x|³+|x|  2, .

Вычисляем n > , т.е. n = 12. Теперь пользуемся методом Симпсона:

Сравнивая полученное значение интеграла с точным значением   0,785398163397, получим

| – I |  |0,785398163397 – 0,785398163346|  0,000000000051 < 0,001,

что и требовалось.

Очевидно, что точность метода Симпсона значительно превосходит точность методов прямоугольников и трапеций, а также заданную точность 0,001. Частично это обусловлено тем, что оценка величины |f(x)| была сделана очень грубо. Например, можно заметить, стандартно вычислив максимум функции на отрезке, что |–x³ + x|  , т.е. |f(x)|   . Тогда оценка для n будет такой: n >  6,6090, т.е. n = 7. Даже в этом случае приводимые ниже вычисления показывают, что точность метода Симпсона высока.

Теперь | – I |  |0,785398163397 – 0,785398162080|  0,0000000013.