§ 4. Проблема собственных значений

TO BE ADDED…

Глава III. Численное интегрирование

З адача численного интегрирования состоит в приближённом вычислении с заданной точностью определённого интеграла для непрерывной на отрезке [a; b] функции. Здесь интеграл понимается как предел интегральных сумм , где участвует любое разбиение a = x₀ < x₁ < … < < x_n–1 < x_n = b отрезка [a; b] на n отрезков [x_i ; x_i+1] длин _i = x_i+1 – x_i , в каждом из которых фиксирована точка _i  [x_i ; x_i+1] (0  i  n–1). Этот предел рассматривается при стремлении к нулю величины  = _i (что, конечно, предполагает n   ) и не должен зависеть ни от разбиения a = x₀ < x₁ <…< x_n–1 < x_n = b, ни от выбора точек _i  [x_i ; x_i+1] (1  i  n–1) – только в этом случае интеграл и считается корректно определённым.

В этой главе рассматриваются некоторые методы решения поставленной задачи численного интегрирования.

§ 1. Метод прямоугольников

Э тот метод предполагает равномерное разбиение отрезка [a; b] на n равных частей длины _i = с выбором точек _i в серединах интервалов [x_i ; x_i+1]: _i = (0  i  n–1).

Если обозначить f(_i) = f_i+1/2 , то заменив интеграл n-й интегральной суммой, получим формулу прямоугольников:

.

Её название связано с прямоугольниками, т.к. она заменяет значение интеграла суммой площадей n прямоугольников с одним основанием и высотами f_1/2 , … , f_n–1/2 (см. рисунок).

Для того чтобы осмысленно применять эту формулу, нужно оценить погрешность, с которой она даёт значение интеграла. Предположим, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b]. Тогда на каждом интервале [x_i ; x_i+1] можно воспользоваться формулой Тейлора:

f(x) = f(_i) + f(_i)·(x – _i) + ·(x – _i)² ,

где  лежит между x и _i и зависит от x. Интегрируя по x в отрезке [x_i ; x_i+1], получим

,

причём среднее слагаемое в правой части равно нулю:

,

где  = x_i+1 – x_i . Значит, , причём

,

где M_i = max{|f(x)| | x_i  x  x_i+1 }.

Таким образом,

где M = |f(x)| .

Полученная оценка позволяет по заданной погрешности  из неравенства находить число n : n > и  = , а затем применять формулу прямоугольников .

Пример. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .

Оцениваем вторую производную подынтегральной функции:

,

т.к. 3·x² – 1  3·1² – 1 = 2, .

Вычисляем n > , т.е. n = 13. Теперь пользуемся методом прямоугольников:

Сравнивая полученное значение интеграла с точным значением  0,785398, получим

| – I |  |0,785398 – 0,785521|  0,000123 < 0,001,

что и требовалось.

§ 2. Метод трапеций

Разобьём отрезок [a; b] на n равных частей длины  = и впишем в подграфик функции f прямоугольные трапеции, как показано на рисунке. Если обозначить f(x_i) = f_i , то заменив интеграл, численно равный площади подграфика, суммой площадей трапеций, получим формулу трапеций:

.

И з рисунка видно, что на отрезках, где функция меняет знак, вместо трапеции получаются два треугольника.

Для того чтобы осознанно пользоваться этой формулой, нужно оценить погрешность, с которой она даёт значение интеграла. Предположим, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b]. Тогда на каждом интервале [x_i ; x_i+1] она заменяется линейной функцией . Оценим разность

r(x) = f(x) – L(x) – K·(x – x_i)·(x – x_i+1),

где x  (x_i ; x_i+1), а K – постоянная со свойством r(y) = 0 для некоторой фиксированной точки y  (x_i ; x_i+1), т.е. K = . Таким образом, дважды непрерывно дифференцируемая функция r(x) обращается в ноль, по крайней мере, в трёх точках: x_i , y, x_i+1 .

По теореме Роля, производная r(x) имеет, по крайней мере, по одному корню на каждом их отрезков (x_i ; y) и (y ; x_i+1). Ещё раз применяя теорему Ролля, получим, что у второй производной r(x) есть корень на (x_i ; x_i+1). С другой стороны, r(x) = f(x) – 0 – 2·K. Таким образом, K = , где   (x_i ; x_i+1) – корень r(x). Итак,

f(y) = L(y) + ·(y – x_i)·(y – x_i+1),

т.к. r(y) = 0, а  зависит от y.

Интегрируя по y в отрезке [x_i ; x_i+1], получим

,

причём первое слагаемое в правой части равно:

где  = x_i+1 – x_i . Значит, ,

где M_i = |f(x)| .

Таким образом, , и в общем виде

где M = |f(x)|.

Полученная оценка позволяет по заданной погрешности  из неравенства находить число n : n > , вычислять  = , и осознанно применять формулу трапеций .

Пример. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .

Оцениваем для подынтегральной функции f(x) = вторую производную:

f(x) = , f(x) = ,

т.к. 3·x² – 1  3·1² – 1 = 2, .

Вычисляем n > , т.е. n = 19. Теперь пользуемся методом прямоугольников:

Сравнивая полученное значение интеграла с точным значением  0,785398, получим

| – I |  |0,785398 – 0,785283|  0,000115 < 0,001,

что и требовалось.