§ 6. Применение метода простой итерации к решению

уравнения f(x) = 0

Пусть задано уравнение f(x) = 0 на отрезке [; ]. Сводя задачу к уже решённой в предыдущем параграфе, достаточно представить это уравнение в виде h(x) = x со сжимающей функцией h : [; ]  [; ]. Имеем f(x) = 0  (x – A·f(x)) = x, где A – ненулевая константа. Таким образом, можно считать, что h(x) = x – A·f(x) и нужно теперь так подобрать постоянную A, чтобы выполнялось условие сжимаемости отображения h.

Для простоты будем предполагать, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [ ; ] и для неё выполнена локализация корня так, что f монотонна и неизменно выпукла на [ ; ], причём f()·f() < 0. Будем пользоваться выводами предыдущего параграфа, формулируя их в терминах функции f.

Вначале подберём константу A так, чтобы функция h стала неубывающей: h(x) = 1 – A·f(x)  0  A·f(x)  1. Если f возрастает, то f(x) > 0 и A  при любом x  [ ; ], т.е. A  . Если же f убывает, то f(x) < 0, А  при любом x  [ ; ], т.е. A  . Величина |f(x)| в условиях неизменной выпуклости функции f на отрезке [ ; ] вычисляется легко: |f(x)| = max{|f()|, |f()|}, причём |f()| получается при f·f < 0, а |f()| – при f·f > 0.

Теперь воспользуемся результатами предыдущего параграфа:

1. Условие h([; ])  [; ] :

(h([; ])  [; ])  (h()   и h()  ) 

 ( – A·f()   и  – A·f()  )  (A·f()  0 и A·f()  0).

В случае возрастающей функции f имеем f() < 0 < f(), так что с учётом предыдущих ограничений 0 < A  . Для убывающей функции f будет f() > 0 > f(), и получаем  A < 0. Отметим, что знак А совпадает со знаком sgn f производной функции f.

2. коэффициент сжатия функции h(x) = x – A·f(x). Предыдущие рас­смотрения гарантируют неравенство h(x) = 1 – A·f(x)  0. Далее, h(x) = –A·f(x) = –sgn f·|A|·f(x). Таким образом, знак h(x) постоянен на отрезке [; ] и противоположен знаку f·f . Поэтому, как следует из результатов предыдущего параграфа, условие сжимаемости отображения h будет выглядеть так:

если f·f  0, то c = h() = 1 – A·f() < 1;

если f·f  0, то c = h() = 1 – A·f() < 1.

Оба эти условия выполнены, т.к. A·f > 0. Минимальный коэффициент сжатия получается, при |A| = , т.е. при A = .

Таким образом, окончательно получаем:

если f·f  0, то c = 1 – ;

если f·f  0, то c = 1 – .

Поскольку величина A = зависит от знака производной, то формулы итерационного процесса тоже будут различны:

при f·f > 0 : x_n+1 = x_n – ,

при f·f < 0 : x_n+1 = x_n – ,

(n  N), x₀  [; ].

Как и в предыдущем параграфе, можно улучшить начальное приближение, беря x₀ = при h·h > 0 и x₀ = , если h·h < 0. Поскольку h  0, а знак h противоположен знаку f·f, окончательно имеем:

если f·f > 0, то x₀ = ,

если f·f < 0, то x₀ = .

Подытожим полученные выводы для решения уравнения f(x) = 0 методом простой итерации в предположении, что функция f дважды непрерывно дифференцируема и имеет знакопостоянные на [; ] производные f и f .

Метод простой итерации для уравнения f(x) = 0 на [; ]

1. Вычисляем знаки f , f и f·f.

2. Записываем f(x) = 0 уравнение в виде x – A·f(x) = x, где A = , где M = |f()| при f·f  0 и M = |f()| при f·f  0.

3. Коэффициент сжатия: с = 1 – при f·f  0, и с = 1 – , если f·f  0.

4. Вычисляем начальное приближение x₀ : x₀ = , если f·f  0 (можно просто x₀ = ), и x₀ = (или x₀ = ), если f·f  0.

5. Выполняем итерации: x_n+1 = x_n – A·f(x_n) (n  N).

6. Останавливаем вычисления при n = или при одновременном выполнении условий |x_n+1 – x_n|  , |f(x_n)|   , где  – заданная погрешность.

Замечание: Если для выхода не вычисляется величина n, то коэффициент сжатия c вычислять нет необходимости. Это можно сделать в модельных примерах для контроля правильности вычислений.

Полученные выводы о методе простой итерации для уравнения f(x) = 0 систематизированы в приложении (таблица III).

Примеры: 1. Уточнить методом простой итерации корень уравнения e^x–1 – 2·x = 0 на отрезке [0; 0,9] с точностью до 0,001.

Здесь f(x) = e^x–1 – 2·x имеет корень на [0; 9], т.к. f(0) = e^–1 > 0, f(0,9) = e^–0,1 – 1,8 < 0. Производная f(x) = e^x–1 – 2 отрицательна на отрезке [0; 0,9], т.к. f(0,9) = e^–0,1 – 2 < 0 и f(x) возрастает: f(x) = e^x–1 > 0. Поэтому можно применить метод простой итерации.

1. Ясно, что f < 0, f > 0, f·f < 0.

2. Составляем уравнение h(x) = x, где h(x) = x – A·(e^x–1 – 2·x) и величина A = –  –0,6127.

3. Коэффициент сжатия: c =  0,3873.

4. Выбираем начальное приближение x₀ = 0 (без уточнения).

5. Производим итерации x_n+1 = x_n + 0,6127·f(x_n) (n  N), пока либо |x_n+1 – x_n| > 0,001, либо |f(x_n)| > 0,001:

Таким образом, приближённое значение корня 0,232.

Если применить уточнение корня, взяв x₀ =   –0,2254, то итераций потребуется меньше.

2. Уточнить корень уравнения sin 2·x – ln x = 0 на отрезке [1,2; 1,5] с точностью до 0,001.

Имеем: f(x) = sin 2·x – ln x, f(x) = 2·cos 2·x – . Ввиду неравенств < 2,4  2·x  3 <  величина cos 2·x на [1,2; 1,5] отрицательна, значит f < 0, f убывает на [1,2; 1,5]. Кроме того, f(1,2)  0,675 – 0,082 > 0, f(1,5)  0,141 – 0,405 < 0, так что f имеет на рассматриваемом отрезке единственный корень.

Далее, f(x) = –4·sin 2·x + и sin 2·x убывает на [1,2; 1,5]. При этом 0,5645  4·sin3  4·sin2·x  4·sin2,4  2,7019 и 0,4444     0,6944. Значит, f < 0 и можно применить метод простой итерации для уточнения корня.

Ясно, что f < 0, f < 0, f·f > 0.

1. Составляем уравнение h(x) = x, где h(x) = x – A·(sin 2·x – ln x), с коэффициентом  – 0,3778.

2. Вычисляем коэффициент сжатия

 0,1279.

3. Выбираем начальное приближение x₀ = 1,5 (без уточнения).

4. Производим итерации x_n+1 = x_n + 0,3778·f(x_n) (n  N), пока верно |x_n+1 – x_n| > 0,001 или |h(x_n+1) – x_n | > 0,001 :

Таким образом, приближённое значение корня 1,400.

Уточнив приближение x₀ =  1,4001, и вычислив x₁ = h(x₀)  1,3994, получим |x₁ – x₀| = 0,0007 < 0,001, так что итераций не требуется.

Замечание: Можно показать, что методы хорд и касательных являются (в достаточно малой окрестности корня) частными случаями метода простой итерации: достаточно уравнение f(x) = 0 заменить уравнением x – (x)·f(x) = x. Для метода касательных нужно взять (x) = , а для метода хорд (x) = .